книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

Пример 2. Пусть в результате измерений некоторой величины получены следующие данные: €, *

Пусть результаты измерений содержат случайные ошибки

2

с одинаковой дисперсией б сл и общую для всех измерений повторяющуюся ошибку с дисперсией &п •

Система уравнений погрешности будет

AX-Z-V ,

1 2 7

Так как все измерения у нас равноточны, то для на­ хождения элементов весовой матрицы можно использовать формулы

равным среднему из результатов измерений. Это правильно, так как при непосредственных измерениях у нас нет воз­ можности выявить и устранить общую для всех измерений повторяющуюся ошибку.Оценка точности показывает, что

128

осреднение измерений уменьшает дисперсию только чисто случайного слагаемого.

§19. Влияние ошибок в негодных данных на результаты определения места

Известно, что на точность определения места влияют наряду с ошибками измерений и ошибки исходных данных. t’acTo ошибками в исходных данных пренебрегают из-за их малости по сравнению с ошибками измерений. Однако в ряде случаев такое пренебрежение недопустимо.

Рассмотрим влияние ошибок в исходных данных па кор­ реляционную матрицу свободных членов. Вектор свободных членов системы уравнений погрешностей запишем как раз­ ность двух векторов:

(2.41)

а вектор U вычислен по приближенным координатам опре­ деляемой точки и координатам опорных пунктов. Таким об­ разом, этот вектор является некоторой функцией исходных данных, то есть

Ѵ -С /^х^ Н ) ~ и ( Х ' 7 х г , . . . , x N 7 ^ f 2 2 7 • *• ? 2s ) 1

2 , І 2 *•••» 2 * 5 " координаты исходных пунктов.

Вследствие ошибок исходных данных вектор исходных ко­ ординат отличается от действительного вектора координат исходных пунктов и поэтому счислимое значение всякого навигационного параметра может быть записано с почощьс разложения

В матричном виде полученная система линейных функций будет иметь вид

Uc=uf*(p£ ,

£ - матрица ошибок опорных пунктов,

ТЗО

Пусть в результате измерений имеем следующую систему уравнений ошибок:

циальную оценку неизвестных, отвечающую принципу наи­ меньших квадратов, Х = С 'a tP L .

Рассмотрим вектор

После группировки

132

Первая матрица зависит от ошибок измерений, вторая - от ошибок исходных данных. Перепишем эти матрицы с уче­ том характера отдельных блоков:

133

первые - переводящему в оценочные значения неизвестных. Для такого преобразования составим матрицу

134

Эта матрица представляет собой корреляционную матри­ цу оценок неизвестных и исходных даихнх.

Из предыдущего известно, что матрица 27 определяет характер получаемых значений оценок. Если оценки найде­ ны в соответствии с методам наименьших квадратов, то

D = C W P

или

D - C ' W K ~ l ' }

135

DKL D^C'W^ KL (C~‘a TK~^) =

=c 'a tk ~'a (c")t=c ~'a tp a a гр ча ч=с ~'.

Таким образом, D KL £ T равна обратной матрице коэф­

фициентов нормальных уравнений и тогда корреляционная матрица оценок неизвестных будет

Если неизвестные вычислены по методу наимеяьиих квадратов, но вес измеренных величин выбран без учета ооибок исходных данных, то вид корреляционной матрицы будет другим по сравнению с (2.48):

ІЗб