книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие
.pdf[aa] f ß ' [ ^ ] f !}r [aC]f33=0
для г (218)
М *
Отсюда
■г Р ,*,*■ ■ ■ *
<£ - Ы < ѵ ‘>
|
|
|
ai |
|
ci |
|
firaife |
fp2 |
ai |
к |
ci |
A- |
|
^i=aifßt^if23tCif33 |
|
к |
ci |
ti |
||
Найдем сумму [c*wl] |
, |
» [jf^f ] |
. |
Для этого |
||
произведем уннопкж |
системы уравнение, |
как показано, |
||||
к результаты слоим |
по столбцам. С учетом |
весовых урав |
||||
нений получим: |
|
|
|
|
|
|
[» { * ]= /: |
[* e i]“ 0 ; |
; [ o to t] = ^ ; |
||||
\ajb\=0‘, |
\ijb\-1 i |
[cfo}=0 1 \f)P\~f:2; |
||||
[ < И ; |
[* < T > ^ |
[ < / |= Л [ Я ] = Л з * |
||||
87
Таким образом,
О
Будем считать, что стандарт ^ есть стандарт едини-
Сравнивая две последние строки, находим
Таким образом, для того чтобы оценить точность,надо найти f , и -Р . Получить эти величины можно
в результате решения систем весовых уравнений. Полное решение по Гауссу нужно только для первой весовой систе
мы из трех уравнений. |
|
Лля определения -f22 |
из 2-й системы надо взять |
уравнения, которые получаются после первого преобразо
вания (2 .17). |
И н а к о н ец ,^ |
получается |
после второго |
преобразования |
(2 .1 8 ). Можно доказать, |
что |
|
Таким образом, матрица из |
является симметричной |
||
Практически к схеме решения нормальных уравнений добавляют три вертикальные графы, в которые вписывают свободные члены системы весовых уравнений.
88
Контроль вычисления весовых коэЗхЬидиентов
Обозначим
|
[ ag] + [а с] ; |
] |
Е = М + Й + Н • |
2 |
3 |
Для вычисления сумм можно воспользоваться готовыми выражениями:
£ |
- [ |
« |
] - |
м |
; |
Е |
= |
И |
- |
М |
• |
|
w |
|
|
|
|
Сложим по столбцам все строки системы весовых урав нений и, учитывая суммы, запишем:
Или такие
Ста форцула и является контрольной.
Уравнивание в случае неравноточных
измерений
В этом случае каздое і - уравнение поправок имеет вес f - , так так измерения характеризуются стандартомб^- •
Для вычисления неизвестных по неравноточныы уравне ниям поправок их необходимо привести к одному весу, удобно к весу I . Пусть имеет, ошибку G.'■ и вес Д .
В этом случае средняя квадратическая ошибка единицы веса будет
Г - б і І Р |
і |
■ |
Таким образом, умнояив уравнения поправок на корень |
||
квадратный из своего веса, |
мы приводим эти уравнения |
|
к весу I: |
|
|
і - I , 2 , 3 , . .. , п •
Нормальная система в данном случае будет иметь вид
[p a ^\x+ [p a É ]g t [ p a c ^ z + [ P a f ] - 0 ,
а условие наименьших квадратов запишется
£ р |
= m i n . |
Схема решения и все контрольные соотношения остаются такими же, что и для случая равноточных измерений.
Средняя квадратическая ошибка измерения с весом
— |
|
, |
где t |
- число определяемых |
неизвестных ; |
JK |
- ошибка фиктивного измерения с весом I. |
|
Весовые коэффициенты могут |
быть найдены из тех же |
|
соотношений, что и раньше, но |
с учетом весов. |
|
90
В этом случав
с*, с*. |
J•) |
|
I P |
р -I |
Средняя квадратическая оиибка
§15. Средняя квадратическая ошибка и вес (Ьѵнкпии уравненных элементов п ри уравнении с уравнениями поправок
Из предыдущего известно, |
что |
|
|
||
|
* Г аі?„ + * і Ѣ |
ai |
cL; |
Pi |
|
|
|
|
|||
|
ß r aif<P °zfl2 |
ai |
Ai |
Pi |
|
Умножим, как показано, |
и сложим по |
столбцам |
каждую |
||
систему |
отдельно. |
|
|
|
|
Учитывая іѳеовые уравнения, нолучим сводувдиС ре |
|||||
зультат: |
|
|
|
|
|
К Н |
; |
|
|
|
|
|
; [ < • ] - * ; |
|
|
[ fip j’ / u |
' |
form
[ßP]=ft2 '■>
[ ^ Л Н / г / •
91
Напишем систему нормальных уравнений:
ja a jr + [a^J у +\a f ] = 0 |
А |
fit |
|
[a é\x +[é ë\p \é £ ]= o |
/» |
^22 |
|
После умножения по столбцам сложим и, учитывая весо |
|||
вые уравнения, |
получим: |
|
|
- |
* - И і,Л ( е ] ? < 2 |
(2.19) |
|
■\ß^\ •
Обозначим через X » У уравненные значения неиз вестных. Будем искать среднюю квадратическую ошибку функции от X > У • Функциональную зависимость предста вим в линейной форме, для чего воспользуемся приближен ными значениями неизвестных:
яг |
э г |
и |
г-г(хв’х,у,гу)-пхлПіх |
X + |
|
э у |
)с Г ä |
|
Обозначим первое слагаемое |
через <^д . Тогда |
|
Величины ^ /2 для данной задачи постоянные. Значение |
||
^ может быть вычислено точно |
и поэтому |
ее дисперсия |
и средняя квадратическая ошибка будет равна нулю. Сле
довательно, |
в дальнейших рассуждениях |
<£0 можно не |
|
учитывать и |
тогда |
|
|
В данное |
выражение входят зависимые |
велтины х |
и |
у, так как они получены в ходе уравнивания. Преоб
разуем данное выражение к такому виду, чтобы F была функцией независимых друг от друга величин, то есть Функцией от результатов измерений.
92
Ранее было получено, что значения неизвестных иожно представить так:
—X=-dL.j9t + cL2 £г + |
• • • + cLn £n |
'7 |
|
|
~ $ = |
+ ß 2 €2 + ' |
' • + ß n € n * |
|
|
Эти выражения подставим в (2.20) |
и тогда |
получим |
||
В последнюю формулу входят все известные |
величины |
|||
а независимые |
результаты измерений |
|
|
|
Будем считать измерения равноточными:
З г 6 * “ ' ' ' = G^ =Gr *
Теперь по теоремам о сложении дисперсии можно на писать, что
f 2f i ) f ' " |
f (%l°Ln +Я2А * ) _ |
• |
Возведем выражения, стоящие в скобках, в квадрат и |
||
сложим: |
|
|
М +2f , t z М |
* ■ [j*/5] ) • |
|
Введем весовые |
коэффициенты: |
|
Я г р г г ) ' |
Из предыдущего |
ОГ2 |
|
|
|
? г |
9 3
Отсюда следует, что
р - |
|
А ) * |
|
|
*F |
|
|
|
|
= % Ш » +и Ъ < ) +Ь & & 1 + Ъ ? 2 2 ) ' |
|
|||
Выраженія в скобках обозначим через |
и |
?2 * |
||
р ш% Ъ + Я г Ъ |
» |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
+ %2$гі |
•> |
|
(2. 21) |
*ятЬ Ь |
+ h f n |
‘ ’ |
|
|
Величинн ?, и |
называются переходными множителя |
|||
ми. Из исходной системы нормальных уравнений била по лучена система (2 .19). По методу аналогии найдем ис ходную систему, из которой можно получить выражение
(2. 21):
|
|
|
|
|
► |
Для нахождения |
т, |
и |
і 2 |
решим обычным путем послед |
|
нюю си |
г* |
|
|
|
|
|
И |
ч |
к |
- [ |
И = 0 ;' |
Перепишем равенство
94
V [ « « ] |
[ a a ] |
'0 |
|
г, |
М |
|
||
Г?»’*] |
0 |
|
|
|
, |
|
||
[ m |
] |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (2.21) |
исключим |
X, |
и |
?г |
|
для чего сначала |
||
умножим первую строку на |
|
и вычтем из |
(2.21)» |
|||||
£ - # * г * ■ ? * * * - # < • |
|
|
||||||
[ а а ] |
2 [ста] |
|
|
|
I ?2 + [а а ] |
|
||
Вторую строку уігаожюі на |
|
|
н вычтен. Полунин |
|||||
_і_ |
9? ,ІЪ-іѴ |
|
|
|
||||
pr |
M |
[ e t - i ] |
|
|
|
|||
В этих формулах численные |
значения £ |
определяются |
||||||
из условия задачи. Прочие коэффициенты имеются в схеме решения нормальных уравнений.
Пример. |
Найдены уравненные значения |
3-х углов X |
» |
||||
У I 2 . |
Требуется определить среднюю квадратическую |
||||||
ошибку угла А , |
который равен |
|
|
|
|||
|
А = 3 6 0 в- [ Х + У + г ] • |
|
|
|
|||
Из приведенного соотношения видно, что |
- - I ; |
|
|||||
^ ■ - I и |
с^3 ш _ і |
(частные производные). |
|
|
|||
По схеме решения |
[а а ] |
- 4; [ а € ] |
= |
• |
1,75 |
||
[сс-2] - |
1 ,7 » # |
[éc-i] |
- 0,25# |
|
|
|
|
95
[?Уг] % - [ t f . j ] Ііг‘] ’
[ f , - i \ - t - 0 , 2 S ( r O - j ß (-0,2S)— 0 ,7 rf ;
' |
г ‘ |
(% О г , |
fc-гГ |
1 |
||
Ф А [ata] |
[߀’i] |
|
[cc-2] |
|||
|
|
|||||
i ' (0 ,2 5 ) Z s ( 0 , 7 |
•> |
|||||
9 |
* |
1,75 + |
/,7/4 |
|||
|
||||||
|
ф ö 2- 0 |
, 5 8 |
*, |
|
||
вА= 16"-9^0,58= 12-9 .
Неравноточные измерения
В этом случае все рассуждения и выводы будут совер шенно аналогичны предыдущему. Однако все коэффициенты должны быть получены с учетом весов, а среднюю квадра тическую ошибку функцил следует находить через ошибку единицы веса, то есть
г - |
^ |
’ |
e ' |
W |
где
t - число определяемых неизвестных.
96