книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

Используя Х-Х = V » получи два уравнения погреш­

ностей, эквивалентных исходной системе:

Здесь X и У - вероятнейшие координаты места.

Весовая матрица уравнений будет иметь вид

D Г>

- средняя квадратическая олиОка измерения с весом I .

Эквивалентное линии полоиения в данном случае парал­ лельны осям координат. "Компенсацией" за простоту урав­ нений эквмвалентинт линий поломеимя является то, что мл погрешности не является независимыми. С ооноцьв ортогонального преобразования система

Х- Х - ѵ :

У- У « V '

1 7 7

12

м оя* лучить эквивалентную систему двух независимых уравнений погрешностей. Матрица преобразования в этом случае будет иметь вид

cos Т sin Т

Q

sin Т - cos Т

Выполняя указанные действия, получим весовую матри­ цу, откуда можно найти выражение для расчета элементов эллипса оиибок А , В , Т . Формулы получим в виде

s ’- ■ & { 1 ? ааМ ? і е ] - ? } ■

Здесь

Таким образом, эквивалеитиие преобразования с ис­ пользованием в качестве линий положения полуосей эл­ липса ошибок являются частными случаями.

$ 24. Нахождение "вероятнейшего* места в Фигуре погрешностей

Кроме изложенных способов нахождения вероятнейшего места на практике употребляются и другие приемы.Чаше всего для нахождения места в фигуре погрешностей ис­ пользуют так называемый центрографический способ, а для случая трех линий положения - способ противомедиан.

1 7 6

сущность центрографического способа уравнивания состоит в следующем. Пусть уравнения поправок заданы в нормаль­

ной форме. Тс есть c o s Z ^ f+ s in T ^ u J -

с весом Рі •

Такой системе уравнений поправок соответствует сис­ тема нормальных уравнений«

\_рсо$гт \ду+ [p co sT sin Т^Ди* - [ р д п cos'c] = О •

[ fc o s Z s in Z ^ p c p f^ s in 2^ \д и > - [рД п s in T ^ - 0 ■

Отсюда найдем неизвестные поправки к координатам:

-[pcosZsinZ] [рДггзглТ]* [р * іп гт] [ р д п cosт\

введем полученные равенства в уравнения для нахождения

ду> и Деи- .

После приведения подобных членов получим:

179

ДuS = Е л ?r« « 'f ö - ті) а <^і,

Е Р і Р ^ " ( ? > - Щ

точек пересечения линий полоавния. В данной случае усматривается определенная физическая аналогия нахожде­ ния центра тяжести системы материальных точек с коорди­

р ік можно рассматривать как вес точек пересечения

линий положения. Дня равноточных измерений

{#<■#* " Ч ѵ *;->}’ •

Отсода возникает графический метод уравнивания.После проведения линий положения находят координаты каждой точки пересечения. Этих точек будет

180

Sin%Z3 ~ Z 2)

Рг,эш

*?

1

1 8 2

Сп о с о б ППОТЖВОМЙЛНЯД

Втреугольнике погрешностей шмеется одно избыточное измерение. Оно должно дать одно условное уравняли.Обо­ значим стороны треугольника погреияостей через С, , Сг ,

С3 . Положим, что вероятнейшее место найдено. Обозна­

чим смешение сторон, приводящих измерения в согласие через г* , ѵ-2 , <s} . Соединим вероятнейшее место с

вершинами треугольника (рис.21). В результате получим три малых треугольника. Напишем условное уравнение,ко­ торое будет иметь вид

4 точим, то поправки </г-

откуда

2 S

К

и

183

к

На момент Т2 имеем совместную систему двух уравне­ ний, которую мояеѵ. записать так:

л аі \ ’

т

где К = .К + А К пА ‘ по предыдущему. Матрица коэффи-

циентов нормальных уравнений, очевидно, будет иметь

следующий вид:

„ Т

а вероятиеЙлке координаты получим, решая уравнение

тИх точность опре.-.‘ится корреляционной матрицей

>У-

Лг ‘ Ч Л * Lл \ /

Таким образом, задача нахождения координат и оценки их точности решается ложностью. Координаты на момент 7 можно получить и другим путем, заменяя исходную

систему уравнений погрешностей системой эквивалентных линий положения и присоединяя к ней одну обсервованную линию положения

аХ.г~€= іа .

Этот прием получил название "Метод последовательно­ го уточнения места". В качестве эквивалентных линий положения удобно взять линии, параллельные осям коор­ динат :

* * = К у

Л ^ Ѵ г ,

с корреляционной матрицей

или же линии полокния, направленные вдоль полуосей эллипса ошибок. Система уравнений ошибок на момент Тг в данном случае будет иметь вид

а ее корреляционная матрица

О

(Э .І8 )

О

186