элементов не отличались от ближайших измеренных значе ний больше, чем на некоторую наперед заданную величину.
Пусть выполнены измерения некоторого элемента x ( t ) . Пусть также х $ ) измеряется в дискретные моменты вре мени
|
|
|
|
t - t a + i T , |
|
|
|
где |
Т |
- |
интервал |
дискретиестм, |
і - 1 , 2 , 3 |
, п |
|
Сформулированное |
выше условие можем записать |
так» |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(#.35) |
|
Здесь 0 < т < 1 |
. церез |
Т |
обозначим интервал |
дискретности, |
обеспечивающий выполнение поставленной |
задачи. |
Записанное |
условие можно заменить следующим: |
|
|
Ix (ti) - x ( ti tr ” To А ^ 3 Р |
( То) |
’ |
(4.36) |
где |
\Г (Т 0) |
- |
среднее квадратическое отклонение |
случай |
ной функции |
|
|
|
|
|
y ( t ) = x ( t) - x (t+ T 0) .
Согласно определению
1 > ( Т ') - [ * Ю - х ( и т ,) ] г ■ |
( , *37) |
В соответствие с известным законом 3<j вмаелиеим условия (А.об) обесиечивает выюлиениеусловии (#*85)
:вероятностью 0,8 для любого закона распределении и вероятностью 0,# для большинства законов распределе
ния. Формула (4.37) представляет из себя значения струк турной функции, соответствующей промежутку времени Т0 .
Отсюда следует, что оптимальный интервал дискретнос ти можно определить по структурной функции. Для этого
с графика структурной функции надо снять значения J0
еоетветствущие значению В(Т0) AD(T0) рассчитывает-
ея |
по формуле |
где |
о і - заданная точность. |
На практике чаще бывает известна корреляционная функция, поэтому напишем выражения дляD(J0) с помощью этой характеристики
JKT')-2[kx (P)-kx (j j ] ■
Подставим это выражение в формулу дляі?(70 ) |
и по |
лучим, |
что |
|
|
|
|
|
* х ( Т о > К * ( 0 ) - |
18 |
(4.38) |
Следовательно, для нахождения оптимального интерва |
ла дискретности |
Т0 по |
корреляционной функции |
К (Т ) |
достаточно вычислить КХ(Т0) |
и с графика корреляционной |
функции снять соответствующее ординате КХ(Т0) |
значение |
Т -Т 0 |
. Это |
значение |
Z |
и будет оптимальным интер |
валом дискретности (рис.26).
Для ироизводетва расчетов но изложенной методике не обходимо иметь корреляционную функцию данного процесса. Для получения этой корреляционной функции в свою оче редь нужно иметь непрерывную запись достаточной длины. Однако такие наблюдения могут быть единичными, посколь ку статистические характеристики довольно устойчивы. Массовый же материал можно получать с помощью дискрет ных измерений. Очевидно, что такая организация работы
выгоднее. Выбор величины ol производится в соответст вии с поставленной задачей. Например, величинам может
быть задана |
исходя |
из точности |
измерительных приборов. |
Приведенная |
методика |
позволяет |
решить и обратную задачу |
т .е . при измерениях |
с |
заданным |
интервалом дискретности |
определить пределы, в которых могут находиться гидрометеоэлементы в промежуточные моменты времени. Эти пре
делы I d |
могут быть вычислены либо по структурной |
функции |
dL=3][l)(Tja3) |
, либо по корреляционной |
функции |
|
|
К ,< ѵ
Для рекоторых практических задач представляет ин терес определить то предельное значение интервала дискретности, при котором, измерив x ( t ; ) , нельзя
высказать никакого более точного суждения о значениях
т=тпр
* ( і г +Тп р ) ,
чем просто приравняв его к среднему значению. Иначе можно сказать, что Тпр - это такой промежуток времени,
при котором более точно будет принять истинное значение элемента равным его среднему значению, а не последнему измеренному.
При приближение
* ( t+ T n p ) ~ x ( t )
дает ту же точность, что |
и приближение |
|
х ( і + Тпр) ^ |
x ( t ) . |
|
При таком определении |
Jnp можно назвать |
предель |
ным промежутком старения |
измеряемой величины. |
Очевидно, |
что текущее время будет равно предельному времени ста рения в том случае, когда имеет место равенство сред них квадратов отклонений, т .е .
^ ( Т п р ) - н х (0) . |
Й .3 9 ) |
Подставив это равенство в (4.36), получим, что
Или для нормированной корреляционной функции
Таким образом, предельный промежуток старения ин формации о гидрометеоэлементе определяем тем значением 'С , при котором ордината корреляционной функции равна 0 ,5 ее максимального значения (рис.27). Например,пре-
дельное время |
старения |
для температуры воды в точке |
2-5 мин, а для |
скорости |
течения - |
2-3 ч. При увеличе |
нии промежутка |
времени |
сверх Тпр |
точность гидрометео |
элемента будет ухудшаться и при больших промежутках времени ошибка будет равна І.4ІС ? .
Это соотношение вытекает из известной формулы для структурной функции,
£ J t )= 2 [ kJ 0 ) - K x (T)]
при
? > >ТпР )
DX (T) - 2 Кх (0)
і М & х *
/
Очевидно, что в этом случае выгоднее пользоваться средним значением гидрометеоэлемента вместо измеренно
6 некоторых случаях бывает необходимо по измеренным дискретным значениям гидрометеоэлемента восстановить его непрерывный график. Наиболее простым способом яв ляется соединение согласной кривой, точек, соответствую щих измеренным значениям (рис.28). Очевидно, что такую согласную кривую надо проводить так, чтобы ее участок, соответствующий промеіутку ( t - f t ^ + T ), располагался
в полосе
х (* і)* < * >
Oc(tt+ T) é оС .
OC(t)
Отсюда возникает правило проведения согласной кривой
на участке |
от x (t± ) |
x ( t { + T) |
. Надо провести парал |
лельно оси |
^ прямые ж( tI ) ± cL |
и x ( t - +T)±oL . |
Согласная кривая должна целиком располагаться на обцей для обеих полос площади. Ясно, что, не задаваясь никаким точным законом построения кривой, мы не можем характе ризовать ее точность иначе, чем ошибкой, одинаковой
ддя любой точки участка от t- |
до t- + T • На основании |
% |
t |
приведенного правила построения ыохно написать формул предельного отклонения восстановленной кривой от истшгной:
Другим методом восстановления кривой является зада ние определенного закона нахождения промежуточных зна чений. Наиболее простым решение оказывается в том слу чае, когда промеуточные значения связаны с измеренны ми значениями некоторой линейной зависимостью.
§30. Интерполяция и экстраполяция значений
гилрометеоэлементов. представляемых случайными Функциями
При интерполяции и экстраполяции гидрометеоэлемен тов, представляемых случайными функциями, возникает задача предсказания указанных значений в точках, гд* измерений не было. Б качестве исходных данных нрм »тем используются известные величины, получении* в сеседиж точках. Так как, по условию, исследуемый процесс яв ляется случайным, то и сами методы прогноза и оценка их качества тоже должны носить вероятностный характер. Очевидно, что при прогнозировании желательно получать наилучшее приближение предсказанных значений гидрометеоэлементов к их действительным величинам. Условием наилучшего приближения, как и обычно, мы будем считать
такие, которые соответствуют минимуму средней квадрати ческой ошибки:
|
|
гъ |
і г |
(4.40) |
|
\ X ( 0 - £ a r i x ( t - T j ) = m i n |
|
|
|
|
г=/ |
|
|
где x (t) |
- |
заданная |
случайная функция; |
|
а- |
- |
неслучайные коэффициенты; |
|
(сі |
- моменты, |
соответствующие измеренным значе |
|
|
ниям. |
|
|
Для случая экстраполяции аналогичное условие будет
иметь вид |
|
|
|
|
|
x ( t + T ) - £ é Oii x ( t - Z i ) \ = m i n |
• |
Коэффициенты |
а^*»/ |
J |
|
Здесь “Г |
- |
срок |
прогноза. |
|
|
|
|
|
находятся обнчимм нутом на овном- |
нии (4.41), |
что |
дает |
систему |
из п уравнений: |
|
Т ^ а ; кх (тг- г , ) л КА тг ) . |
гА.ь-2) |
ѵI
Подставив формулу (4.42) б предыдущую, получим соот ношение, удобное для расчета стандарта ошибки интерпо ляции:
в 2-К . |
U, Ч А , ! |
• и 4 . - |
|
|
Этот метод обеспечивает в общем случае тем большую точность, чем большее число данных используется для расчета. Однако опыт показывает, что при большом fl точность растет медленно, но зато вычислительные труд ности - быстро. Поэтому на практике чаете можно ограни
читься простейшим сл у ч а ем интерполяции по двум соседним |
зн а ч ен и я м . Если |
и н тер в ал дискретности равен J |
, то для |
интерполяции по |
двум соседним точкам получим |
(рис.2 9 ) |
x'(t)=ax’(t- Z )i' ёх ( t тТ~Т) |
(4.44) |
*(.t)
|
t- T |
I |
I |
|
|
t |
|
|
Рис.29 |
l +T-T |
Подставив |
(4.44) в |
(4.40), |
выполним необходимые пре |
образования |
и в результате получим два уравнения: |
- к х ( г )+ а к х ( 0 ) * ё к х (т) = 0 \ |
-КХ(Т- 7) + ёКх (0)+аКх (Т) =0
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
Кх {0)Кх (^ ) - К х ^ ) К х {Т-Т;) |
_ |
|
|
|
Кх (0)~ Кгх {Т) |
|
|
|
€ = |
к*(°]Кх (Т-с)-Кх (Т)Кх(Т) |
< |
|
|
К%(0)-Кх (Т) |
|
|
|
Подставив |
значения <х |
и ё |
в |
(4 .43), |
получим рас |
четную формулу для вычисления ошибки интерполяции* |
|
Кх ( о \ к І ( Т - 7 Ь К І ^ - 2 К х (т)Кх (Т)Кх {Т-г^ |
б \г )^ К х {0)- |
|
К хг І 0 ) - К Х2 (Т) |
|
|
|
|
|
|
Из формулы следует, что |
ошибка интерполяции зависит |
от |
промежутка |
? . |
Очевидно, |
чтосУ ^; достигает m a x |
на |
середине отрезка |
от t-L |
доt ^ T |
, т .е . |
при Т= — • |
В этой случае а = € |
и |
т) |
|
к: |
|
г 7 |
|
G m aurK* (О)-2 |
|
|
|
*х<Р)+к*(Т ) |
Кроме изложенного метода интерполяции,когда интер |
поляционные множители |
о и |
£ ‘ |
является функциями от |
промежутка интерполирования |
Т , |
можно использовать |
и так называемую прямолинейную интерполяцию,т.е. такую, при которой промежуточные значения ‘ос (t) получаются просто в результате соединения измеленных значений при мой линией, кстати сказать, такой мётод чаще всего и применяется на практике.
Интерполяционная формула (рис.30) будет иметь сле дующий вид:
х(і+т) (4.45)
а средняя квадратическая ошибка интерполяции опреде лится по формуле
с5 = !*•(?*■?)
|
т-г |
|
Кх (0 ) - 2 т K J T ) - |
- 2 j K x ( .T - 1 )* Z |
КХ ( Т ) . |
Так же как и в предндущем случае,ошибка интерполя |
ции достигнет m a x на |
середине промежутка при 77 -7 . |
Тогда |
£ |
ѵ к * ( . 0 ) - г к х (■ £ )+ 0,SK X { T ) .
