книги из ГПНТБ / Болдырев, В. С. Методы математической статистики в гидрографии и кораблевождении учеб. пособие

§ І б . Уравнивание с условны м и уравнениями

Пусть в результате измерений получены три значения трех углов треугольника. В этом случае одно измерение будет избыточным, так как сумму углов связывает уело-

вавшаяся за счет ошибок измерений. В задачу уравнивания

к образованию одного условного уравнения. Таким образом,

Разложим (2.22) в ряд Тейлора и граничимся первыми членами разложения. Вычтем из полученного ряда соот­ ношение (2 .22):

С учетом этих обозначений

98

Умножим систему на

—2 к{

-2 к г

-2 к 7

Выполнив умножение, получим:

99

Подставим полученные равенства в уравнения поправок:

Эта система уравнений называется системой нормаль­ ных уравнений коррелят, а система (2.23) - уравнением коррелят. Неопределенные множители kt $ к г , . . . , к 7

называются коррелятами.

Реная систему нормальных уравнений, найдем корреляты,

результаты измерений и получить уравненные значения не­

100

Таким образом, уелекнее уравнение справок

р данном случае yew ine одно, значит, будет одно нор­ мальна« уинміеіик и одна коррелята. Уравнения коррелят:

cj —к , OlI —OCg3 Ol2 I •

t/} =k a2

f} ^ k o s f

Тогда

3k + i2 " -0 ; к ~ - ч " ;

o-3 = -ч/ 'l.

Таким образом,

jct = l f - с/ = 't3°I5* 13" f

* i ~ L2 ~ fJ2 * 7 & W 4 6 " i

x3 =L3 ~ b% = 58°0I»0I-.

■Раиаер.точные измерения

При этом, как и в предыдущем случае,

£ р v 1/J = m i n .

Уравнения коррелят получатся такими же, за исключе­ нием того, что г. правой части будет величие веса:

т< = ^ ( аЛ r ^ V • • - t k 2 * > ) ;

ют

^ у г (к*аг ^ 2 кг + " ’ t k z \ ) i

' ' ****/») *

Нормальные уравнения:

Нахождение ошибок функции урине иных элементов при уравнивании с условными уравнениями производится так же, как при уравнивании с уравнениями поправок.

о '17. Сглаживание экспериментальных зависимсстсЛ по методу наимень­

ших квалсатов

В практике часто встречается необходимость определе­ ния функциональной зависимости одних гидрометеоэлемен­ тов от других. Исходными данннми для решенил такой за­ дачи являются результаты эксперимента, сопровождающиеся неизбежными погрешностями измерений. Поэтому необходимо, по возможности, точно отразить общую зависимость функ­ ций от аргумента и вместе с тем сгладить случайные ошибки измерений. Вид функциональной зависимости чаще

всего определяется характером экспериментальной кривой или теоретическими соображениями.

ІО?

Пусть имеется таблица экспериментальных данных и выбран общий вид функции

Согласие принципу наименьших квадратов меяго записать условие

Решая эту систему, найдем неизвестные параметры. Пример. Пусть

Таким образом,

гг

ю з

фициент корреляции является мерой линейной связи меаду ними. Таким образом, коэффициент корреляции показывает, насколько хорошо в среднем одна случайная величина может быть представлена в виде линейной функции от другой.

* ( X ) = A X + ß .

Найдем параметры линейной зависимости в соответст­ вии с принципом наименьших квадратов. Для этого потре­ буем, чтобы дисперсия ошибки линейного ариилишеніи бшм. минимальной,

1Л\%г] = т г п .

Запишем искомую линейную Функцию в виде

t ( X ) = A ( X - a ) + ë +C .

Тогда

і-С2- 2 А /И ( Х - л )(У- Ъ) - 2 С К ß - ë ) - 2 A C M (X - л ) ,

1 0 4

Так как

а и € - центры распределения соответствующих слу­ чайных величин,

М ( У - 6 ) ( Х - а ) = ?Х}у Зх ^

и тогда

м [ г г] . б ^ А гв * + с 2- 2 А ^ е . а % ■

Таким образом, лкяейная функции наилучшего средне-

кмдратмеаиегѳ чриблкяеенил есть

S ( X ) . ? Xb. / £ ( X - * ) ' i ■

График этой .функции - так маммемея прямая среднекеадратичесяой регрессии У на X ■

Уравнение ярлыоК ередиеквадратической регрессіи можно записать и в виде

(А ~&) -

Аналогично может бить зависала п уравнение средне- к^адратической регрессия X на У •

105