2.2. Элементы компьютерных симуляций

На современном этапе образование развивается в условиях информатизации общества. Формы игрового моделирования, включающие обучение с помощью компьютера, служат максимальному эффекту «симуляции», т. е. моделирования реальных ситуаций и контекстов профессионального общения.

Задачи прикладного и исследовательского характера, устанавливающие или иллюстрирующие связи между различными темами, разделами курса математики и междисциплинарные связи; задачи, приближенные к современным профессиональным задачам, решение которых с помощью компьютера позволяет провести графическую визуализацию объектов, одновременно показ различных (численных, аналитических или графических) способов решения, дополнительные исследования по решению, полученному традиционным путем и математический пакет MathCAD можно рассматривать как дидактические средства для организации «компьютерных симуляций» по математике.

Рассмотрим несколько примеров таких задач и возможные варианты их решения в среде MathCAD.

1) Представляет интерес сопоставить результаты вычислений по формулам Бернулли и Пуассона для одинаковых значений k, n, р. Практика показывает, что эти формулы дают достаточно близкие результаты уже при n > 50.

При вычислении вероятностей по формулам Бернулли и Пуассона удобно использовать следующие встроенные функции MathCAD:

dbinom(k,n,p) – вычисляет вероятности по формуле Бернулли;

pbinom(k,n,p) – вычисляет кумулятивные вероятности по формуле Бернулли;

dpois(k,λ) – вычисляет вероятности по формуле Пуассона;

ppois(k,λ) – вычисляет кумулятивные вероятности по формуле Пуассона.

На рис. 2.26 приведен фрагмент рабочего листа MathCAD, в котором такое сопоставление осуществляется для k = 0, 1, 2, 3, 4 при n = 10 и n = 50. Вероятности B1, P1 и B2, P2 вычислены с помощью указанных выше встроенных функций. Цифрами 1 и 2 обозначены результаты вычислений вероятностей по формулам Бернулли и Пуассона и их абсолютных разностей для двух вариантов исходных данных: n = 10, р = 0,1 и n = 50, р = 0,02 соответственно. Параметры выбраны из условия nр = λ = 1. На графиках представлены результаты сопоставления вероятностей для указанных двух вариантов исходных данных.

Рис. 2.26

Полученные результаты свидетельствуют о том, что при увеличении k и одном и том же значении n значения вероятностей, полученные по формулам Пуассона и Бернулли, достаточно быстро приближаются друг к другу. Увеличение числа испытаний n также сопровождается уменьшением рассогласования между результатами вычислений по этим формулам. Таким образом, точность асимптотического приближения Пуассона повышается с ростом значений k и числа испытаний n.

2) Пусть вероятность брака в массовом производстве деталей равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад выбранных деталей 50 окажутся бракованными?

Решение. На рис. 2.27 приведены результаты решения этой задачи с использованием встроенных функций системы MathCAD. Искомая вероятность вычислена в этой задаче по формуле Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа.

По условию задачи n = 400, k = 50, p = 0,1. Для получения точного решения нужно воспользоваться формулой Бернулли, вычисления по которой для наших исходных данных без применения средств вычислительной техники весьма громоздки. Поэтому используется функции dbinom. Решения по формуле Пуассона и по теореме Муавра-Лапласа найдены с применением функций dpois и dnorm(x,0,1) соответственно.

Рис. 2.27

Таким образом, получены: точное решение (PB = 0,01645) и два приближенных: с использованием теоремы Муавра-Лапласа (PM = 0,01658) и формулы Пуассона (PP = 0,01771). Результаты свидетельствуют о высокой точности значения искомой вероятности, полученной по формуле Муавра-Лапласа.

3) В среде MathCAD нормальному закону распределения соответствует несколько встроенных функций, в названии имеющие корневое слово norm, в том числе:

dnorm(x,a,) – выводит значения плотности распределения ;

pnorm(x,a,) – выводит значения функции распределения ;

rnorm(n,a,) – выводит массив (вектор-столбец) из n значений нормально распределенных независимых случайных чисел с математическим ожиданием a и среднеквадратическим отклонением .

Формы кривых плотности и функции нормального распределения приведены на рис. 2.28.

Плотность распределения и функция распределения построены для а = 2,  = 1. Плотности распределения и имеют параметры а = 2,  = 0,5 и а = 4,  = 1 соответственно.

Сопоставляя кривые и , можно заметить, что значение  влияет на форму плотности нормального распределения следующим образом: при увеличении  кривая становится более пологой, а ее максимальное значение снижается. При уменьшении  кривая более компактно располагается вокруг центра распределения и приобретает более вытянутую острую вершину. Изменение значения математического ожидания а не влияет на форму кривой , при таком изменении кривая смещается вдоль оси Ox.

Рис. 2.28

4) Рассмотрим пример, демонстрирующий возможности системы MathCAD при решении задачи оптимизации, и простейшую иллюстрацию использования методики выбора оптимального решения.

Пусть необходимо круглую заготовку, например лист жести радиуса R, разрезать на два сектора таким образом, чтобы свернуть полученные секторы в конусы, а швы сварить. Выполнить задачу необходимо так, чтобы углы раскройки обеспечили максимальный суммарный объем конусов.

Обозначим один угол α, другой – β, , объемы конусов определим по формулам: и .

В соответствии с условием задачи необходимо выбрать значение угла α, при котором объем

будет наибольшим.

Таким образом, задача сводится к нахождению максимума функции . На угол α можно наложить ограничения: .

В этих границах мы найдем α, которому будет соответствовать максимальный объем V. Второй угол в связи с симметрией круга: . Данную задачу решим в системе MathCAD следующим способом. Задаем радиус заготовки R, функцию , дифференцируем ее символьно по α и находим корни полученной функции (рис. 2.29). Для нахождения корней производной можно использовать функцию root (f(x), x), где f(x) – решаемое уравнение f(x) = 0, x – аргумент функции f(x) (искомое неизвестное).

Рис. 2.29.

Alfa – угол соответствующий максимальному суммарному объему.

Несмотря на то, что решение задачи получено программой, основные действия при ее выполнении необходимо сделать исследователю: составить функцию и интерпретировать результат, программа MathCAD позволяет лишь избежать громоздких вычислительных процедур, при которых могут возникнуть ошибки.