5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов

Опредмечивание математических объектов заключается в следующем. Сборники задач по высшей математике содержат текстовые задачи, в которых фигурируют чисто математические объекты. Для таких объектов можно подобрать соответствующие «сюжеты»: предметы, явления из окружающей действительности. Например,

Задача на экономический смысл производной:

Зависимость объема произведенной рабочим продукции от времени t задается формулой . Найти производительность труда рабочего через 2 часа и через 10 часов после начала работы. Ответ: 1,25; 0,139.

Задача на уравнение параболы:

Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 16 м. Описав параболическую траекторию, он упал в 48 м от точки бросания. На какой высоте находился камень на расстоянии 6 м по горизонтали от точки бросания?

Приведем пример задачи о строительстве канала наименьшей длины: «Две реки – А и В – следует соединить каналом. Река А там, где должен проходить канал, имеет вид параболы , а река В – вид прямой линии . Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину. Как его нужно проложить?». Решение данной задачи требует знания таких разделов математики как «Аналитическая геометрия на плоскости» и «Дифференциальное исчисление».

Эту задачу можно усложнить, добавив такие условия, как расположение между реками каких-либо объектов (заповедников, строительных сооружений, земель, находящихся в частной собственности), которые при строительстве канала нужно обойти. Можно задать расстояние, ближе которого канал не может проходить вдоль заданных объектов. Математически эти объекты могут представлять собой области, ограниченные кривыми. Вопрос задачи может заключаться в наиболее экономичной постройке канала. При этом можно задать стоимость прокладывания одного метра канала с учетом различных условий.

Усложнением первоначальной формулировки задачи, приближением ее к реальным условиям могут заниматься студенты. В результате данная задача превращается в небольшой исследовательский проект.

6) Игровые проекты

Пример. Спроектировать разработку высоконадежного компьюте­ра для управления космической ракетой. Добиться того, чтобы вероятность выхода из строя бортового компьютера была меньше 10^-4.

Решение. Пусть искомый компьютер включает три, наиболее уязвимых блока: центральный процессор, оперативную память, базовый контроллер типа материнской платы.

Определим следующие события: А – «Вышел из строя центральный процессор», В – «Вышла из строя оперативная память», С – «Вышел из строя базовый контроллер».

Пусть в нашем распоряжении находятся компоненты компьютера, надежность которых оценивается следующими вероятностями отказа в течение срока эксплуатации:

P(A) = 0,04; Р(В) = 0,02; Р(C) = 0,01. (1)

Бортовой компьютер ракеты выходит из строя, когда выходит из строя, по крайней мере, один из трех блоков, т. е. событие X – «Бортовой компьютер ракеты вышел из строя» может быть представлено в виде:

.

Учитывая формулу

, (2)

найдем P(X). Поскольку вероятность одновременного выхода из строя двух или трех блоков компьютера заметно меньше вероятности выхода каждого из блоков поодиночке, постольку можно записать:

.

Таким образом, вероятность отказа бортового компьютера 0,07, что заметно больше требуемой вероятности.

Продублируем каждый из блоков бортового компьютера. В этом случае события A, B, C могут быть представлены в виде:

, , , (3)

где, например, и – два одинаковых комплекта оперативной памяти, вероятности поломки которых одинаковы и равны тому значению, которое представлено в (1).

С учетом (3) событие X можно представить в виде:

,

Учитывая формулу (3), найдем P(X). Поскольку вероятность одновременного выхода из строя четырех или шести блоков компьютера заметно меньше вероятности выхода каждой из пары дублирующих блоков, постольку можно записать:

.

На данном этапе для решения примера необходимо воспользоваться теоремой умножения вероятностей, чтобы найти вероятность произведений событий , , . Учитывая, что дублирующие блоки независимы, положим:

,

,

.

Если сложить полученные вероятности вместе, то получим вероятность P(X) выхода из строя бортового компьютера, у которого все три блока продублированы, равной . Полученное значение все еще превышает заданное значение .

Если, наконец, каждый из блоков бортового компьютера утроить и провести рассуждения, аналогичные случаю с удвоением блоков, найдем сле­дующую вероятность отказа бортового компьютера:

.

Последняя оценка вероятности удовлетворяет условию того, что веро­ятность отказа бортового компьютера , т. е. бортовой компьютер стал высоконадежным только после того, как каждый из его трех блоков был продублирован трижды.

В результате работы над проектами у студентов вырабатываются и развиваются умения и навыки проектирования: проблематизация, целеполагание, планирование деятельности, самоанализ, презентация и самопрезентация; появляется возможность максимального раскрытия своего творческого потенциала.