3.3. Обучающее тестирование

В настоящее время в системе образования получили широкое применение тестовые программы. Тестирование в педагогике выполняет три основные, взаимосвязанные функции: диагностическую, обучающую и воспитательную. Тестирование как форма контроля результатов обучения является одной из наиболее востребованных и актуальных в высших учебных заведениях.

Такое построение учебного процесса, в котором тестовые материалы используются не только для контроля, но и для обучения, организации самостоятельной работы с этими материалами дома, позволит студентам углубить и расширить знания, умения и навыки, сформированные на занятиях. В таких случаях можно говорить об обучающем потенциале тестовых заданий.

Обучающая функция заданий в тестовой форме способствует дифференцированному подходу к обучению. Каждый студент может приступать к изучению нового материала независимо от других, после самостоятельного усвоения предыдущего. В случае неправильного ответа на задания он возвращается к повторному изучению тех разделов курса, которые оказались неусвоенными. Темп обучения индивидуализируется: более способные двигаются быстрее, менее способные прилагают дополнительные усилия для преодоления возникших затруднений. Следует обратить внимание на обучающие возможности обсуждения неправильных или спорных ответов. Анализ ошибок одного студента нередко приносит пользу и для многих других.

Перед выполнением тестовых заданий студенту предлагается прочитать справочный материал и рассмотреть набор типовых примеров тестовых заданий, в которых по шагам расписан алгоритм их выполнения с ссылкой на определения и теоремы.

В некоторых разобранных примерах тестовых заданий приводятся альтернативные способы их выполнения. Для слабо подготовленных студентов это является дополнительной возможностью понять и осознать материал, а для более сильных учащихся – потенциалом для формирования вариативного, творческого мышления.

После разбора решенных тестовых заданий студенту предлагаются задания для самостоятельного выполнения. Даже в процессе самоподготовки ответ к заданию должен быть обоснованным и сопровождаться краткой записью решения. При аудиторном опросе это позволит исключить возможность угадывания ответа, а также выделять вариативно мыслящих студентов. Итогом качества выполнения домашней работы каждым студентом может служить результат тестового опроса на практическом занятии.

Провоцирующие задачи (т.е. задачи, в условии которой есть провокация, побуждение к ошибочным действиям при решении задачи: ошибка в рассуждении, ошибки и пробелы в доказательстве, действие по аналогии, противоречие в условии, стереотип действий, интерпретация ответа задачи, неоднозначное решение, выбор ответа по предложенному чертежу) являются одним из средств предупреждения ошибок обучаемых при освоении системы знаний в процессе обучения математике.

Некоторые примеры провоцирующих задач по теме «Определенный интеграл»:

1) Вычисляя интеграл с помощью подстановки , получим . Отсюда , т. е. . Ответ неверен. В чем ошибка?

2) Найдите ошибку в рассуждениях при вычислении интеграла:

.

3)  . Ответ неверен. В чем ошибка?

Тестовые задачи – это задачи на стереотип действий. В тестовых заданиях, с которыми сталкиваются учащиеся, чаще всего используются задания закрытого типа.

Эта форма заданий наиболее известна и чаще всего употреб­ляется в практике тестирования. В таких заданиях дается несколько ответов, из которых хотя бы один правильный.

В результате, получая тестовое задание, учащиеся интуитивно выбирают один правильный ответ и не рассматривают все возможные варианты предложенных ответов. Таким образом, у учащихся складывается стереотип действий при решении тестовых заданий и появляются ошибки, допущенные интуицией.

Тестовое задание будет провоцирующим, если среди предложенных вариантов ответа будет не один правильный или не будет правильных совсем. Учащимся необходимо в таком случае не выбирать правильный ответ, а анализировать каждый из предложенных вариантов, поэтому обязательное условие при решении провоцирующих задач данного типа – это пояснения к каждому из вариантов, если он не подходит в качестве правильного ответа.

Приведем примеры разбора тестовых заданий по теме «Элементы комбинаторики. Классическое определение вероятности события».

Задача 1. Сколько различных двузначных чисел можно составить из четырех цифр 1, 2, 3, 4, если все цифры в числе различны?

Варианты ответов: 1) 6; 2) 24; 3) 12; 4) 4.

Решение

1-й способ. Составить двузначное число из четырех заданных цифр, если все цифры в числе различны, – это значит составить все возможные подмножества по два элемента (по определению подмножество не допускает повторений элементов) из множества, содержащего 4 элемента (цифры). Так как положение цифры – находится она в левом или правом разряде числа – имеет значение, то мы имеем случай упорядоченных подмножеств.

Упорядоченное m-подмножество из n-множества называется размещением. Число размещений определяется по формуле: .

По условию данной задачи мы должны рассмотреть все упорядоченные 2-элементные подмножества 4-элементного множества, т. е. .

2-й способ. Воспользуемся правилом произведения. В составляемом двузначном числе ** в левом разряде может находиться любая из четырех цифр – 1, 2, 3 или 4, т. е. 4 варианта.

По условию задачи все цифры в числе должны быть различны, т. е. при составлении двузначного числа в правом разряде не может быть использована та же цифра, что и в левом. Поэтому для правого разряда остается только 3 различных варианта цифр.

По правилу произведения получаем: 43 = 12 (различных двузначных чисел).

Задача 2. Сколько различных двухбуквенных комбинаций можно составить из букв слова «ПЭВМ», если все буквы в комбинации различны?

Варианты ответов: 1) 8; 2) 16; 3) 12; 4) 24.

Решение

В слове «ПЭВМ» 4 буквы, т. е. исходное множество содержит 4 элемента.

Составить двухбуквенные комбинации из четырех заданных букв, если все буквы в комбинации различны, – это значит составить все возможные подмножества по 2 элемента (по определению подмножество не допускает повторений элементов) из множества, содержащего 4 элемента (буквы).

По условию задачи требуется рассмотреть «различные комбинации».

Неупорядоченные подмножества из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга только самими элементами, но не порядком их следования, представляют собой сочетания. Число сочетаний определяется по формуле: .

Вычислим число всех возможных сочетаний из 4-х элементов по 2 элемента: .

Однако такого ответа среди предложенных составителями теста нет. Это означает, что под термином «различные комбинации» они понимают упорядоченные 2-элементные подмножества 4-элементного множества, которые являются размещениями и их число равно .

Задача 3. В урне находятся 6 шаров: 3 белых и 3 черных. Событие A – «вынули белый шар», событие B – «вынули черный шар». Опыт состоит в выборе только одного шара. Тогда для этих событий верным будет утверждение:

Варианты ответов:

1) «События A и B несовместны».

2) «Вероятность события B равна 1/2».

3) «Событие A невозможно».

4) «События A и B равновероятны».

Решение

Вычислим вероятность события A – «вынули белый шар». По формуле классической вероятности .

Вычислим вероятность события B – «вынули черный шар»: .

Проанализируем сформулированные в задаче утверждения.

По определению события называются несовместными, если в результате одного опыта никакие два из них не могут произойти одновременно. Если мы выбираем только один шар, как сформулировано в условии задачи, то одновременно вынуть и белый, и черный шар невозможно, поэтому утверждение «События A и B несовместны» является верным.

Утверждение «Вероятность события B равна 1/2» тоже верно.

Так как , то утверждение «События A и B равновероятны» также является верным.

По определению, если событие при заданных условиях никогда не наступает, то оно называется невозможным. Так как , то событие A наступает с вероятностью 50%, и утверждение «Событие A невозможно» является неверным.

Современные программы для подготовки и проведения тестирования позволяют преподавателю самостоятельно разрабатывать компьютерные тесты.

Применяя тренировочные тесты, студент может самостоятельно повысить уровень компетенций по темам, которые оказались недостаточно усвоены в предыдущий период. При этом преподаватель предложит в тесте именно те задания, которые, по его мнению, особенно важны на данном этапе обучения. Кроме того, он имеет возможность путем создания теста приводить примеры, иллюстрирующие те новые понятия, которые в большом количестве появляются с началом обучения высшей математике. Причем, обучающийся занимает активную позицию: он должен разобраться с тестовой задачей самостоятельно, а не повторить слова и действия преподавателя.

Возможность использования глобальной компьютерной сети позволяет своевременно предлагать студенту тестовые задания, при выполнении которых он мгновенно получает оценку. Такие задания хорошо дополняют, а иногда и заменяют традиционные домашние работы. При этом студент имеет возможность улучшать свою оценку, возвращаясь к тесту несколько раз.

Не все математические задачи можно предлагать в виде теста. Существует мнение, что на решение одного тестового задания обучающийся не должен тратить более 2-3 минут. Поэтому большинство задач, которые приходится решать в процессе обучения высшей математике, не подходят для тестирования. Однако часто из этих задач можно выделить некоторые этапы, малозатратные по времени и имеющие самостоятельное значение при их решении. Преподаватель имеет возможность предложить тест, содержащий только такие этапы, в дополнение к стандартному (письменному) заданию. Использование данного теста для тренировки позволит студенту освоить этапы решения задачи настолько уверенно, что он сможет сосредоточиться на более трудных ее моментах.

Таким образом, решение тестовых заданий становится удачным дополнением к традиционным обучающим технологиям. С помощью тестирования студент получает возможность критически оценить свою базовую математическую подготовку, потренироваться в отдельных темах, усвоить основные теоретические понятия, осознать сложные моменты в решениях практических задач. Время, уделяемое им работе с математическим материалом, может и увеличиться, однако, как правило, с тестами интересно работать, а использование Интернет позволит выбрать удобное время. В некоторых же случаях, особенно при проведении тестового контроля в процессе обучения, есть возможность уменьшить временные затраты, что немаловажно в нынешних условиях обучения в вузе.

Типы тестовых заданий – с выбором одного или нескольких ответов; вводом ответа; задания на соответствие, упорядочение и классификацию – позволяют подобрать такую формулировку тестового задания, которая наиболее адекватна цели обучения и смыслу задачи.

Тесты на дополнение знаний, когда требуется дополнить грамматическую, графическую или иную конструкцию отсутствующими элементами, помогают студенту овладеть ключевыми словами учебной дисциплины. По этой форме формулируется предложение, в конце которого делается пробел, куда тестируемый записывает произвольный ответ (задание на дополнение). Один из приемов текущей диагностики уровня понимания учебного материала заключается в дополнении текста-задания недостающими словами. Предлагаемые тексты-задания предусматривают реализацию соответствующих этапов процесса обучения: обобщение изученного; контроль и коррекция, в процессе которых обучающиеся закрепляют научные понятия и приобщаются к работе над справочными и научно-популярными текстами.

Удобны в некоторых ситуациях задания на классификацию. С их помощью можно одним вопро­сом стимулировать решение сразу нескольких однотипных задач, сравнительный анализ в которых приводит к новому уровню познания предмета.

Используя задания на соответствие, надо стимулировать студентов к изучению теоретических аспектов математики и контролировать этот процесс.

Тестовые задания на установление правильной последовательности тех или иных действий, процессов, операций могут быть использованы в качестве средства диагностики для входного мониторинга при подготовке обучающихся к освоению нового материала, обобщения изученного, контроля и коррекции в процессе обучения. С их помощью можно проверить знание формулировок определений, теорем, формул, умения и навыки их использования, обнаружения ошибочных умозаключений, некорректных вопросов.

Показ правильных ответов по окончании тестирования – инструмент, которым не стоит всегда пользоваться. От тематики задач зависит, нужно ли давать правильный ответ или дать обучающемуся возможность пройти тест несколько раз, пока оценка за тест не станет его удовлетворять, а задания станут совершено ясными. Удобно предлагать в математическом тесте задачи, численные параметры которых меняются автоматически при каждом следующем запуске теста. Именно такие тесты лучше всего приспособлены для процесса обучения.

Использование теста без специальной программной среды (в виде файла-приложения) позволяет задавать тестовые задания наряду с традиционными домашними, при условии, что студенты имеют постоянный доступ к компьютерной технике.

Среди образовательных ресурсов, в том числе размещенных в сети Интернет, наиболее востребованы учебные материалы, предназначенные для самостоятельных занятий на компьютере в интерактивном режиме. Такая организация самостоятельной работы студентов позволяет индивидуализировать учебный процесс, обучаемым – управлять ходом представления учебного материала.

В компьютерных обучающих пособиях [6], [14], [15] рассматриваются методы решения наиболее типичных задач: деление отрезка в данном отношении, различные виды уравнения прямой, расстояние от точки до прямой; различные виды уравнений прямой и плоскости в пространстве, признаки параллельности и ортогональности прямых и плоскостей, расстояние от точки до плоскости и т.д.; операции над векторами; геометрические свойства линий, определяемых в декартовых координатах алгебраическими уравнениями второй степени: свойства эллипса, гиперболы, параболы; способы вычисления пределов функций (методы раскрытия основных видов неопределенностей), методы дифференцирования функций, заданных в явной, неявной и параметрической формах, а также способы исследования функций одной переменной и построение их графиков; основные приемы нахождения первообразной: подведение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям; замена переменной, интегрирование по частям; интегрирование рациональных, иррациональных, тригонометрических и других функций; решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных; приводящихся к однородным; линейных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли; уравнений, допускающих понижения порядка; линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными и переменными коэффициентами. При этом на каждом этапе в решении любой задачи участвует обучаемый – можно сказать, решает ее сам.

Прежде всего, обучаемый знакомится с представленным в пособии набором алгоритмов и выбирает из них самый приемлемый для конкретной задачи. Затем, согласно выбранному алгоритму, решение задачи разбивается на последовательность шагов. На каждом из этих шагов обучаемому предлагаются различные ответы (среди которых один верный) и подсказка, которую обучаемый может вызвать в тот момент, когда она ему необходима. Другими словами, обучаемый должен не угадать ответ, а проделать необходимые выкладки и получить его.

Подсказки формируются из кратких сведений из теоретического курса, которые также приводятся в пособии. Такой подход к построению учебного материала обеспечивает решение каждой задачи – от определения ее условий до получения правильного ответа – в интерактивном режиме. Научившись решать все задачи по данной теме, обучающийся может быть уверен в своих знаниях по ней.

Рассмотрим реализацию описанной методики на примере изучения техники дифференцирования функций одной переменной.

Рассматриваются случаи различного задания функции. Каждая задача (всего 22 задачи) разбивается на серию вопросов. На каждый поставленный вопрос дается несколько ответов, один из которых верный, и подсказка, облегчающая нахождение верного ответа на вопрос. Если есть затруднения в выборе верного ответа на поставленный вопрос, на следующем кадре можно с ним ознакомиться.

Задачи 1-2. Вычислите производную заданной функции, пользуясь определением производной.

Задачи 3-6. Вычислите производную заданной функции, пользуясь основными правилами и формулами дифференцирования.

Задачи 7-9. Вычислите производную заданной сложной функции.

Задача 10. Вычислите производную заданной функции, пользуясь правилами дифференцирования сложной функции и произведения двух функций.

Задача 11. Вычислите производную 2-го порядка заданной функции.

Задачи 12-13. Вычислите производную функции, заданной неявно.

Задачи 14-15. Вычислите производную 2-го порядка от функции, заданной неявно.

Задачи 16-17. Вычислите производную заданной функции, применяя «логарифмическое дифференцирование».

Рассмотрим решение задачи 17.

Шаг 1:

Шаг 2:

При выборе неправильного ответа появляется подсказка:

Шаг 3:

При выборе неправильного ответа появляется подсказка:

Шаг 4:

При выборе неправильных ответов появляются подсказки:

Шаг 5:

При выборе неправильного ответа появляется подсказка:

Шаг 6:

При выборе неправильного ответа появляется подсказка:

Шаг 7:

Задача 18. Вычислите производную параметрически заданной функции.

Задачи 19-20. Вычислите производную 2-го порядка от параметрически заданной функции.

Задачи 21-22. Составьте уравнение касательной и нормали к кривой, заданной уравнением.

В завершении каждой части темы предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Рассмотренная технология самостоятельного изучения методов решения задач с успехом может использоваться при разработке современных материалов для организации обучающего тестирования студентов при различной форме обучения: очной, заочной, дистанционной, в которых предусмотрено формирование тестового задания, осуществляемое путем квазислучайной (учитывающей коэффициенты сложности и ранее показанные тестируемым результаты) выборки наборов правильных и ошибочных ответов, и осуществляемый в порядке убывания значимости анализ всех выбранных испытуемым утверждений, инициирующий формирование подсказки или наводящего вопроса.