1.4. Лекция-беседа

Лекция-беседа (или лекция-диалог) – наиболее простая и типичная форма активного привлечения студентов к учебному процессу. Содержание подается через серию вопросов, на которые студенты должны отвечать непосредственно в ходе лекции.

Активное участие студентов в беседе можно обеспечить различными приемами. Рассмотрим некоторые из них.

1. Изучение понятий на основе обсуждения названия темы

При изучении дифференциала функции рассматривают такое понятие, как инвариантность формы дифференциала. Незнакомым здесь для студентов является слово «инвариантность». Но при этом некоторые студенты встречались со словами «вариация», «вариативный», которые означают «изменение», «изменяющийся». Можно вспомнить, что приставка «ин» изменяет значение слова на противоположное. В результате можно сделать вывод о том, что слово «инвариантность» означает «неизменяемость». Затем внимание студентов нужно обратить на то, что формула для нахождения дифференциала функции была выведена для случая, когда x является независимой переменной. Дальше выводится формула для дифференциала, когда х является зависимой переменной. Перед тем, как вывести формулу, студенты уже могут предположить, что она останется прежней.

2. Процесс получения новых знаний на основе знакомых фактов

Перед тем, как сформулировать определение производной, рассматривают задачи, приводящие к понятию производной (например, задачу о нахождении средней и мгновенной скорости прямолинейного движения; средней линейной плотности стержня и линейной плотности стержня; среднего и мгновенного значения величины тока; задачу о нахождении средней производительности труда рабочего и производительности труда в данный момент времени). При обсуждении этих понятий студентам можно задать следующие вопросы: «Какие величины можно взять для характеристики движения?», «Что нужно знать для определения скорости движения?», «Как определяют скорость равномерного движения и как можно попытаться определить скорость неравномерного движения?», «Сформулируйте определение понятия средней скорости движения, известное из курса физики и запишите его в виде формулы», «Как на основе выражения, полученного для средней скорости, определить мгновенную скорость?», «Какими характеристиками может обладать стержень?», «Как эти характеристики связаны между собой?», «Что нужно знать для определения плотности стержня?», «Каким должен быть стержень, чтобы задача не была тривиальной?». Аналогичные вопросы можно сформулировать при рассмотрении других задач. После введения среднего значения рассматриваемых понятий нужно обсудить возможность получения их точного значения. В результате делается вывод о необходимости рассмотрения очень маленького промежутка времени и участка стержня. В аудитории всегда найдутся студенты, которые придут к мысли о том, что в полученных формулах для нахождения точного значения нужно перейти к пределу.

3. Приведение примеров

При рассмотрении понятия сложной функции можно предложить студентам привести пример сложной функции, представляющей собой суперпозицию заданного числа указанных функций.

4. Неявное доказательство теорем, когда сначала проводятся рассуждения, представляющие доказательство, а затем формулируется теорема

После того как сформулирована тема «Применение производной к исследованию функции на монотонность» можно спросить у студентов, какая функция называется возрастающей, а какая – убывающей. Так как ранее обсуждалось понятие монотонности функции, то этот вопрос не вызывает у студентов больших затруднений. Далее необходимо обратить внимание студентов на то, что они недавно познакомились с понятием производной функции, при этом необходимо вспомнить определение производной: . Далее студенты могут заметить, что если – возрастающая функция, то при и при . В обоих случаях это соответствует условию . Аналогично можно провести обратные рассуждения, а также рассуждения для убывающей функции.

Во время обсуждения студенты не делают никаких записей в своих тетрадях. Важные моменты рассуждений, такие как определение производной, возрастающей и убывающей функции, необходимо записать на доске (в символьной форме). После того как в результате обсуждений будет установлена связь между понятием производной и монотонностью функции, можно будет совместно со студентами оформить полученный вывод в виде теоремы и записать ее доказательство.

5. Совместное получение алгоритма

При рассмотрении производной степенно-показательной функции можно предложить студентам совместный поиск алгоритма ее нахождения. Обычно студенты отмечают, что данная функция не является ни степенной, ни показательной, и поэтому невозможно воспользоваться формулами производных степенной и показательной функций. Если дальнейший поиск вызывает затруднения, можно задать следующие вспомогательные вопросы: «Что мешает нам найти производную такой функции?», «Что нужно сделать, чтобы получить функцию, производную которой мы умеем находить?»

После этих вопросов некоторые студенты приходят к мысли о том, что данную функцию нужно прологарифмировать и после применения свойства логарифма получится равенство, не содержащее степенно-показательного выражения: . Далее, в случае затруднений можно напомнить, что первоначально была задана функция , производную которой у' нужно найти. В результате студенты приходят к мысли о том, что полученное после логарифмирования равенство нужно продифференцировать. При дифференцировании левой части студенты нередко пишут . Временно на этот факт можно не обратить внимания. Производную от правой части равенства студенты обычно находят правильно. Они видят, что правая часть представляет собой произведение двух функций, при этом вторая функция является сложной. После этого нужно спросить, что первоначально требовалось найти. Найти нужно было у', но в последнем равенстве у' нет. Почему так получилось? Что нужно сделать? Может быть, что-то было сделано не так? Если после некоторых раздумий ошибка не будет обнаружена, можно будет обратить внимание на то, что у содержится только в левой части, значит что-то сделано не так именно здесь. Если и это не даст результата, то можно заметить, что у – это функция, зависящая от переменной х, и поэтому представляет собой сложную функцию, производная от которой равна .

Далее несложно догадаться, что из полученного равенства нужно выразить у'.

Затем можно взять примеры степенно-показательных функций, приведенные студентами, и на этих примерах разобрать полученный алгоритм.

Подобным образом можно организовать совместный поиск практически любого алгоритма, увеличивая или уменьшая количество вспомогательных вопросов.

6. Совместный разбор понятия

При рассмотрении понятия точки максимума функции можно спросить у студентов, как они себе представляют это понятие. Для некоторых студентов это точка, до которой функция сначала возрастает, а после убывает. На доске можно сделать чертеж, иллюстрирующий это предположение, и спросить, как можно еще определить точку максимума. Студенты могут увидеть, что значение функции в этой точке больше, чем во всех других точках интервала, содержащего эту точку.

При традиционном рассмотрении понятия точки максимума второе предположение лежит в основе определения точки максимума, а первое – в основе доказательства достаточного условия экстремума. В данном случае об этом можно сообщить студентам и взять за основу общепринятое определение, либо принять оба определения, поскольку нет оснований отвергать какое-либо из них в качестве определения точки максимума.

Далее студентам нужно дать возможность самим сформулировать определения. Если начало определения вызывает затруднение, можно предложить начать с того, что мы хотим определить: «Функция имеет в точке максимум, если ...» или «Точка называется точкой максимума ...».

После того как определение будет записано, можно попросить кого-то еще раз его повторить или повторить его самому.

7. Совместный вывод формул

При рассмотрении темы «Дифференциал функции» выводится формула, которую можно использовать в приближенных вычислениях. Предварительно полезно обратить внимание студентов на то, что мы хотим получить формулу, позволяющую применять дифференциал к приближенным вычислениям. В случае затруднений можно предложить студентам взять за основу равенство , которое было получено перед этим при рассмотрении понятия дифференциала, и заметить, что в выписанной формуле дифференциала пока нет. После этого некоторые студенты предлагают перейти к записи: , где , и затем становится очевидным, что .

Теперь полученное равенство нужно записать в развернутом виде. Всегда найдутся студенты, которые вспомнят, что приращение функции , а формула для дифференциала была записана перед этим. В результате несложно получить формулу .

Далее можно спросить, как удобнее переписать последнюю формулу. Левая часть этой формулы содержит значение функции в точке х и в точке , правая часть – значение производной в точке х и приращение аргумента. Можно догадаться, что, зная вид функции и точку х, можно вычислить значение функции в точке , поэтому в левой части последней формулы нужно оставить только , т. е. формула имеет следующий окончательный вид: . Далее можно предложить студентам привести пример на использование полученной формулы.

8. Приведение примеров выполнения и невыполнения условий теоремы

При рассмотрении правила Лопиталя формулируют четыре условия:

1)  и определены в некоторой окрестности точки ;

2)  ;

3) в окрестности точки существуют конечные производные и , причем ;

4) существует ,

при которых справедлива формула: .

Можно предложить студентам привести примеры функций, определенных и неопределенных в окрестности точки (приведенные примеры функций и точек можно записать на доске). Аналогичные примеры можно привести и на остальные условия.

Если это задание вызывает затруднения, то преподаватель может сам привести пример функции, точки – и затем всем вместе следует проверить сформулированные выше условия.

Один из вариантов образовательного диалога преподавателя и студентов в ходе лекционного занятия по теме «Производная функции» при рассмотрении вопросов «Задачи, приводящие к понятию производной», «Определение производной», «Таблица производных основных элементарных функций», «Основные правила дифференцирования», «Физический и геометрический смысл производной», «Производная сложной функции», «Производная степенно-показательной функции» подробно представлен в работе [19].