2.4. Решение сюжетных и профессионально-ориентированных задач

Нет ни одной области математики, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

Н. И. Лобачевский

Процесс интенсивной математизации знаний требует от выпускников вузов умения не только проводить исследование готовой модели, но и самому переходить от содержательного представления о явлении к его формально-математическому описанию.

Согласно требованиям ФГОС ВПО выпускник вуза должен решать следующие задачи: построение моделей исследования процессов, явлений и объектов, относящихся к области профессиональной деятельности, анализ и интерпретация полученных результатов, а при изучении высшей математики – овладеть первичными навыками и основными методами решения математических задач из профессиональных дисциплин.

Главное отличие сюжетной задачи от других задач, используемых в математической подготовке, состоит в наличии у нее сюжета, в котором описываются реальные или вымышленные объекты, процессы, где эти объекты задействуются, величины, характеризующие процессы, числовые значения и отношения, свойственные величинам.

Профессионально-ориентированная математическая задача – в которой представлены процессы и явления, составляющие содержание дисциплин профессионального цикла учебного плана подготовки бакалавров (специалистов) или условие и требование которой определяют модель некоторой ситуации, возникающей в профессиональной деятельности бакалавра (специалиста), а исследование этой ситуации осуществляется средствами математики, а также задача, формулировка которой включает приемы организации поисковой деятельности обучаемых, адекватные тем, которые будущий специалист выполняет при работе с задачами из профессиональных дисциплин.

Процесс решения сюжетной задачи – это теоретическое исследование, представляющее собой процесс математического моделирования: построение модели, исследование модели, анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

Решение задач на составление обыкновенных дифференциальных уравнений различного содержания позволяет студентам освоить метод математического моделирования.

Вначале на примере исследования простейших ситуаций рассматривается построение их моделей – дифференциальных уравнений; проводится математический анализ полученных моделей – описывается решение полученных дифференциальных уравнения; затем иллюстрируется применение полученных результатов для прогноза различных ситуаций:

Задача 1. Найти кривую, подкасательная которой есть величина постоянная.

Решение. Пусть y(x) – искомая кривая, M(x, y) – ее произвольная точка, A – точка пересечения касательной, проведенной к кривой в точке M, с осью Ox (рис. 2.33). Если B – проекция точки M на ось Ox, то по условию задачи AB = a.

Из геометрического смысла производной следует, что , или . Это и есть дифференциальное уравнение искомой кривой.

Чтобы решить это уравнение, перепишем его в эквивалентной форме, воспользовавшись дифференциалами:

.

Его общее решение:

,

откуда находим уравнение искомой кривой .

Если потребовать, чтобы искомая кривая проходила через некоторую фиксированную точку (задать начальные условия, например, (0; 2)), то число C будет вполне определено и решением задачи будет единственная кривая:

.

Задача 2. (Радиоактивный распад на загрязненных территориях). Опытным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна количеству радиоактивного вещества. Требуется найти зависимость количества радиоактивного вещества от времени t.

Решение. Используя физический смысл производной (если функция описывает некоторый физический процесс, то производная этой функции описывает скорость изменения этого процесса), составим дифференциальное уравнение: скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна массе радиоактивного вещества.

Пусть в начальный момент времени количество радиоактивного вещества составляло m₀. Известно, что масса вещества есть функция времени, т. е. . Тогда скорость изменения радиоактивного вещества равна первой производной функции по времени t: . Через обозначим коэффициент пропорциональности, тогда зависимость количества радиоактивного вещества от времени t примет вид (с течением времени количество вещества уменьшается). Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Его общее решение: , где C = const.

Так как , то зависимость количества радиоактивного вещества от времени t имеет вид .

Задача 3. На загрязненной радионуклидами территории за 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества? Ответ: на 200-й день.

Далее рассматриваются различные примеры ситуаций, в которых применяется рассмотренное дифференциальное уравнение.

Задача 4. (Износ оборудования). Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна его фактической стоимости. Найдите закон изменения стоимости оборудования, если начальная его стоимость равна s₀. Ответ:  .

Задача 5. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость оборудования 1000 ден. ед. Какова будет его стоимость через 10 лет, если через 1 год она составляла 900 ден. ед.? Ответ: 349,9 ден. ед.

После рассмотрения этих задач делается вывод: при моделировании различных явлений: из геометрии, физики, экономики получается дифференциальное уравнение одного и того же вида.

Для формирования умения анализировать результат и применять полученные математические знания, умения и навыки решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка к новым объектам и с целью подготовить студентов к усвоению материала при изучении электротехники можно рассмотреть задачу:

Задача 6. Сила тока I в электрической цепи с сопротивлением R, коэффициентом индуктивности L и электродвижущей силой E удовлетворяет дифференциальному уравнению . Найдите зависимость силы тока от времени, если: а) E изменяется по закону и (L, R, k – постоянные, k – коэффициент пропорциональности); б) E изменяется по закону и (L, R, A,  – постоянные); в) E изменяется по закону и ; (L, R, A,  – постоянные).

Для сильных студентов после совместного разбора решения можно сформулировать новое задание – поиск решения этой же задачи, но с измененными условиями или вопросом.

Задача 7. (О полете тела, брошенного под углом к горизонту).

П усть тело брошено под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀. Требуется вывести уравнения движения тела, пренебрегая силами сопротивления. Выберем оси координат так, как показано на рис. 2.34. В произвольном положении M на тело массой m действует лишь одна сила – его вес P = mg. Поэтому в соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси Ox и Oy запишутся в виде:

, .

Сокращая на m, получаем уравнения: , .

Начальные же условия движения тела таковы:

, , , при  .

Интегрируя уравнения с учетом начальных условий, приходим к выводу, что уравнения движения тела задаются формулами:

, .

Из полученных уравнений можно сделать ряд выводов о характере движения брошенного тела. Например, можно ответить на вопросы: каково время полета тела до его падения на землю, каково расстояние полета по горизонтали, какова максимальная высота летящего тела, какова траектория полета тела?

На первый вопрос можно ответить, найдя значение t, при котором y = 0. Из второго уравнения видно, что это будет тогда, когда , т. е. когда либо , либо . Второе значение и дает ответ на первый вопрос.

Чтобы ответить на второй вопрос, вычислим значение x при значении t, равном времени полета. Из первого уравнения получаем, что расстояние полета по горизонтали задается формулой . Из последнего равенства, в частности, следует, что расстояние будет наибольшим, когда , т. е. . В этом случае расстояние будет равно .

Ответ на третий вопрос мы сразу же получим, если укажем условие максимальности y. Но это означает, что в той точке, где y максимально, производная . Учитывая же, что , приходим к равенству , откуда . Подставляя теперь полученное значение t во второе уравнение, находим, что максимальная высота равна .

На четвертый вопрос ответ уже получен. А именно, траекторией полета будет парабола, так как полученные уравнения – это параметрическое задание параболы (параметром является время), которая в декартовых координатах запишется в виде

.

Математическими моделями многих экономических задач являются векторы и матрицы. Информация, записанная в матричной форме компактна, наглядна, легко обрабатываема. Студенты свободно оперируют данными, записанными в таблицах, поэтому удобно иллюстрировать понятие матрицы конкретными примерами. Операции над матрицами также удобно рассматривать на примерах.

Пример 1. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ – 70, а в М₃ – 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М1	М2	М3
1	20	35	10
2	15	27	8

Решение  сводится к умножению матриц: , где A – матрица, данную нам в условии, а В – матрица, характеризующая стоимость доставки единицы продукции в магазины.

Пример 2. Пример коллинеарных векторов дает любая таблица обменных курсов валют. Например, на сайте FOREX (электронный адрес в Интернет – http://ru.investing.com/quotes/Таблица-кросс-курсов-валют-Форекс) имеется таблица кросс-курсов валют, условный фрагмент которой приводится ниже.

Каждая строка таблицы выражает курсовую стоимость единицы соответствующего вида валюты. Так, вторая строка показывает, что за один евро можно получить 1 доллар 16 центов, 76 пенсов или 1 франк. Любые два столбца и любые две строки этой таблицы пропорциональны, т. е. любые вектор-столбцы и любые вектор-строки коллинеарны, причем в этой же таблице легко найти коэффициент пропорциональности.

Пример 3. В январе 2015 года группа студентов совершила туристическую поездку по ряду европейских столиц. К концу путешествия они обнаружили, что в их кошельках накопились остатки валюты: 15 евро, 10 фунтов стерлингов, 20 швейцарских франков и 25 долларов США. Остатки составляют валютный вектор: . Посоветовавшись, студенты решили обратить валюту в рубли и организовать банкет. В банке они узнали курсы валют:

1 евро – 75,5 руб.,

1 британский фунт стерлингов – 98,7 руб.,

1 швейцарский франк – 74,7 руб.,

1 доллар США – 65,0 руб.

Таким образом, появился еще один четырехмерный вектор – вектор обменных курсов валют: .

Чтобы определить, сколько рублей имеется на банкет, нужно выполнить следующий расчет (найти скалярное произведение векторов):

 руб.

Пример 4. На предприятии имеется четыре технологиче­ских способа изготовления изделий A и B из некоторого сырья. В таблице указано количество изделий, которое может быть произ­ведено из единицы сырья каждым из технологических способов. Записать в математической форме условия выбора технологий при производстве из 94 ед. сырья 574 изделий A и 328 изделий B.

Изделие	Выход из единицы сырья
	I	II	III	IV
A	2	1	7	4
B	6	12	2	3

Решение сводится к составлению и решению системы трех линей­ных уравнений с четырьмя неизвестными:

где , , , – количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание, и последующему анализу полученного решения с учетом реального экономического содержания.

Рассмотрим примеры сюжетных задач по разным разделам математики.

Системы линейных алгебраических уравнений

1) Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждо­го банка). В начале года 2/9 вклада, который составляет 900 тыс. руб., вложили в первый банк, 3/9 вклада вложили во второй банк и оставшуюся часть вклада – в третий банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 1080 тыс. руб. Если бы первоначально 3/9 вклада положили в первый банк, 4/9 вклада – во второй банк, оставшуюся часть вклада – в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 1060 тыс. руб. Если бы 4/9 вклада вложили в первый банк, 2/9 вклада – во второй банк, оставшуюся часть вклада – в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов была бы равна 1055 тыс. руб. Какой процент начисляет каждый банк? (Ответ: 10%, 20%, 25%)

Исследование функций с помощью производных

2 ) Для доставки продукции завода N в город А (рис. 2.35) строят шоссе NP, соединяющее завод с железной дорогой АВ, проходящей через город А. Стоимость перевозок груза по шоссе вдвое больше, чем по железной дороге. Найти угол BPN, под которым нужно провести шоссе, чтобы общая стоимость перевозок продукции завода в город А по шоссе и по железной дороге была наименьшей. (Ответ:  .)

3) Стоимость топлива за 1 час пути пропорциональна кубу скорости судна. При скорости 10 км/ч она составляет 3 доллара в час. Расходы, не зависящие от скорости, составляют еще 48 долларов в час. При какой скорости судна общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова при этом общая сумма расходов в час?

4) Из круглого бревна диаметром 20 см нужно выпилить балку прямоугольного сечения так, чтобы количество отходов было наименьшим. Найти площадь этого сечения.

5) Издательство выпускает детективные романы. Текст на странице должен занимать 300 см². Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое по 1 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страниц?

6) Фермеру необходимо огородить летний загон для жи­вотных, имеющий форму прямоугольника. Стоимость ограждения трех сторон составляет 5 долларов за метр, стоимость ограждения четвертой стороны равна 1 доллару за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если у фермера имеется всего 180 долларов?

Определенный интеграл

7) Закон изменения напряжения обычного переменного тока (городского), имеющего 50 периодов в секунду, дается формулой , где – максимальное напряжение, t – время. Найти среднее значение квадрата напряжения за 1 период (0,02 сек). Показать, что при постоянном сопротивлении переменный ток выделяет за 1 период столько же тепла, сколько и постоянный, имеющий напряжение, равное (ввиду этого выражение называют эффективным напряжением переменного тока).

Экстремумы функции нескольких переменных

8) Найти минимальную стоимость и размеры прямоугольной коробки заданного объема в 48 дм², изготов­ленной из разных сортов картона, если стоимость одного квад­ратного дециметра картона такова: 1 руб. на передней и задней стенке, 2 руб. на крышке и дне и 3 руб. на боковых стенках.

Правила сложения и умножения вероятностей

9) Для повышения надежности компьютера он дублируется другим точно таким же компьютером; надежность (вероятность безотказной работы) каждого компьютера равна 0,8. При выходе из строя первого компьютера происходит мгновенное переключение на второй; надежность переключающего устройства равна единице. Определить надежность системы двух дублирующих друг друга компьютеров.

10) Та же задача, но надежность переключающего устройства равна 0,5 (а не 1).

11) Некий гражданин, располагая суммой 3 млн. руб., решил вложить по одному миллиону в каждый из трех банков под 6% годовых на срок 7 лет. Вероятность банкротства любого из этих банков в течение срока хранения вклада равна 0,1. Какова вероятность того, что по истечении 7 лет гражданин получит обратно, по меньшей мере, вложенную сумму 3 млн.?

Формула полной вероятности и формула Байеса

12) Компания, занимающаяся страхованием рисков, связанных с автомобильными авариями, разделяет водителей в зависимости от квалификации и стажа на три группы: A, B, C − составляющие соответственно 25%, 35% и 40%. Вероятность наступления страхового случая по группам составляет соответственно 0,05; 0,04 и 0,02. Какова вероятность того, что случайно взятый страховой случай относится к группе A?

13) Клиенты, с которыми работает банк, делятся на две группы в отношении 1:5. Вероятность просрочки платежа клиентами первой группы 0,6; второй − 0,06. Найти вероятность того, что произвольный клиент, просрочивший первый платеж, просрочит также и второй. Предполагается, что клиент, просрочивший платеж, остается в той же группе.

14) То же, что и в предыдущей задаче, только клиент второй группы, просрочивший первый платеж, с вероятностью 0,4 перемещается во вторую группу.

Формула Бернулли

15) У страховой компании имеется 12 тыс. клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 10 тыс. руб. Вероятность несчастного случая p = 0,006, а выплата пострадавшему составляет 1 млн. руб. Какая прибыль П обеспечивается страховой компании с вероятностью 0,995?

Решение. Суммарный взнос всех клиентов равен

12000  10000 = 120 (млн. руб.).

Ясно, что прибыль компании зависит от числа k нечастных случаев и равна 120 – k (млн. руб.). Поэтому наша задача − найти такое число П, что

P(120 – k  П) = 0,995 или, эквивалентно, P(k  120 – П) = 0,995.

Учитывая, что k  0, мы можем записать последнее уравнение в виде

P(0  k  120 – П) = 0,995.

Для оценки вероятности P(0  k  120 – П) воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласа при n = 12000, p = 0,006, q = 0,994 (очевидно, что npq > 10). Имеем:

,

где , . Так как , то . Итак, необходимо найти значение П, при котором

, или .

По таблице значений функции Лапласа находим , откуда .

Итак, с вероятностью 0,995 компании гарантируется прибыль ≈ 26 млн. руб.

Распределение дискретной случайной величины

16) Пусть X − процентное изменение стоимости акций в отношении к текущему курсу через один месяц в будущем. Вероятностный прогноз для величины X представлен в виде распределения:

X	-1	0	1	2	3
P	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Какова, согласно прогнозу, вероятность того, что покупка акции будет более выгодна, чем помещение денег на вклад при ставке банковского процента 12% годовых?

17) Банк выдал 5 кредитов, оценив вероятность невозврата денег в 0,1 для каждого из 5 заемщиков. Пусть X − количество заемщиков, не вернувших денег по истечении установленного срока. Необходимо составить закон распределения X, считая, что заемщики друг с другом никак не связаны.

Решение. Пусть A_i – событие, состоящее в том, что i-й заемщик (i = 1, …, 5) не вернул денег. Так как заемщики друг с другом не связаны, то можно считать, что события A₁, A₂, …, A₅ независимы. Следовательно, применима формула Бернулли: (k = 0, 1, …, 5). Вычисляя вероятности , находим закон распределения X:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,59049	0,32805	0,0729	0,0081	0,00045	0,00001

18) Прогноз будущей инфляции через три месяца в процентах к текущему уровню цен задан распределением:

X	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
P	0,1	0,1	0,2	0,2	0,2	0,1	0,1

Текущая ставка по трехмесячным кредитам – 11% годовых. Текущая ставка по трехмесячным вкладам – 5% годовых. Какова вероятность того, что реальный процент по кредитам будет положительным, а по вкладам − отрицательным?

Освоение элементов математического моделирования непосредственно в процессе изучения высшей математики позволяет сформировать качественные математические знания и обеспечить готовность их применения при изучении профессиональных дисциплин и в предстоящей профессиональной деятельности.