3.2. Работа над учебными проектами

Метод проектов как педагогическая технология – это «способ достижения дидактической цели через детальную разработку проблемы (использование совокупности разнообразных методов и средств обучения, интегрирование знаний и умений из различных сфер науки, техники, технологии, творческих областей), которая должна завершиться вполне реальным, осязаемым практическим результатом – «проектом», оформленным тем или иным образом. Этот результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Чтобы добиться такого результата, необходимо научить студентов самостоятельно мыслить, находить и решать проблемы, привлекая для этой цели знания из разных областей, способность прогнозировать результаты и возможные последствия разных вариантов решения, умения устанавливать причинно-следственные связи. Метод проектов всегда ориентирован на самостоятельную деятельность учащихся – индивидуальную, парную, групповую, которую учащиеся выполняют в течение определенного отрезка времени. Он представляет определенную совокупность учебно-познавательных приемов, которые позволяют решить ту или иную проблему в результате самостоятельных действий учащихся с обязательной презентацией этих результатов»

Использование метода проектов при изучении математических дисциплин обеспечивает определенный уровень готовности студентов к проектной деятельности при освоении профессиональных дисциплин: умение ставить цель, определять проблемные задачи, выдвигать гипотезу; умение планировать и организовывать свою деятельность; умение работать с различными информационными источниками; умение работать самостоятельно; навык групповой работы; демонстрация и публичное представление своей работы; способность к анализу и самоанализу.

Проект по высшей математике – это учебное задание поисково-исследовательского характера, направленное на дополнение, углубление, систематизацию, интеграцию учебного материала, требующее сравнения, обобщения, анализа фактов, понятий, теорем. Результат имеет математический показатель в виде решения проблемы, создания субъективно нового, личностно значимого продукта и формирования прочных математических знаний, способности решать новые предметные, межпредметные и профессиональные задачи, возрастания интереса к учебной и научной работе [29].

В организации учебной деятельности студентов технических направлений при изучении математических дисциплин с использованием метода проектов можно выделить следующие направления:

1) выполнение учебных дисциплинарных (или моно) проектов;

2) выполнение учебно-исследовательских междисциплинарных проектов;

3) выполнение исследований в процессе работы над «глобальным» проектом, т.е. проектом как результатом освоения профессионального модуля.

Тема проекта, время, отведенное на его выполнение, и целесообразность его использования определяются содержанием учебного материала и конкретными целями обучения.

Монопроект выявляет внутрипредметные связи, раскрывает логику построения курса, обобщает и интегрирует некоторые разделы дисциплины (или комплекса математических дисциплин), включает вопросы, факты, требующие сравнения, обобщения, анализа учебного материала. Дисциплинарный проект может касаться какого-то теоретического вопроса программы с целью углубления знаний по этому вопросу, дифференциации процесса обучения.

Примеры монопроектов: задачи на доказательство, на использование разных, нестандартных методов решения, на сравнение различных способов решения, полученных результатов, на установление содержательных взаимосвязей между элементами учебного материала с помощью различных видов опорных конспектов (которые в дальнейшем могут служить в качестве опоры при решении задач на практических занятиях), на вывод формул, на составление алгоритмов действий, на доказательство и иллюстрацию утверждений примерами и контрпримерами (все проектные решения, предлагаемые в будущей профессиональной деятельности, должны быть обоснованы и проанализированы), на геометрическую интерпретацию; составление оригинальных задач, имеющих несколько решений и представление всех вариантов таких решений.

Остановимся более подробно на содержании дисциплинарных (или моно) проектах.

1) Мини-проекты, требующие обобщения некоторых фактов (результатов решения специально-подобранных задач) с целью получения, открытия интересных следствий – свойств математических объектов.

Например, специальная подборка задач на действия с матрицами, на вычисление определителей, позволяет сформулировать некоторые их дополнительные свойства и выявить новые для студента методы вычисления.

Рассмотрим другие примеры.

Пример. Параметр среднеквадратического отклонения  при изучении больших статистических совокупностей выступает в качестве естественной меры отклонения интересующих нас величин от средних значений.

Раньше часто использовали так называемое правило трех «сигм», 3; согласно которому весьма маловероятно, чтобы некоторая случайная величина X, отклонялась бы от среднего на три и более стандартных отклонения, т. е. вероятность выступала в качестве эталона малости при изучении больших статистических совокупностей, приближенно описываемых нормальным распределением. Однако в настоящее время стали рассматривать и более жесткий критерий, который по аналогии с предыдущим случаем называют правилом шести «сигм» (Шесть сигм – концепция управления производством, разработанная в корпорации Motorola в 1980-е годы и популяризированная в середине 1990-х после того, как Джек Уэлч применил ее как ключевую стратегию в компании General Electric). В этом случае эталоном малости вероятности выступает уже величина . Правило шести «сигм» обычно обсуждается в связи с повышением качества, при попытках минимизации дефектов и брака в производстве высокотехнологической про­дукции.

Задача. Изучить правила трех и шести «сигм» путем оценки вероятностей и .

Решение. Для нахождения искомых вероятностей воспользуемся фор­мулой . Учитывая свойства интеграла (27), можно записать следующие

Ответ: случайная нормально распределенная величина выходит за ин­тервал три «сигма» с небольшой вероятностью, равной 2,710^-3; вероятность выхода за диапазон шесть «сигма», грубо говоря, в миллион раз меньше и равна значению 1,9710^-9.

Существует некоторая путаница в широкой пропагандистской риторике вокруг критерия шесть «сигм» в связи с вопросами качества. Во многих источниках утверждается, что при критерии шесть «сигм» будет 3,4 дефекта на миллион. В действительности этот норматив реализуется для одностороннего критерия 4,5 «сигма», т. к.

.

2) С целью систематизации большого объема информации, его большей доступности для понимания можно реализовать проект «Шпаргалка».

Студентам предлагается изготовить «шпаргалку» – опорный конспект по заданной теме. Так как «шпаргалка» должна иметь компактные размеры, то студенты, изготавливая ее, учатся работать с большими объемами информации, выделять наиболее важную информацию, отделять главное от второстепенного.

Возможные результаты такой работы приводятся ниже (табл. 3.2, 3.1).

Таблица 3.1 

Опорный конспект «Комплексные числа»

1. Алгебраическая форма к. ч.

, , i – мнимая единица: – действительная часть, – мнимая часть  – комплексно-сопряженное к z На комплексной плоскости С: z – точка или вектор OX – действительная ось, OY – мнимая ось

2. Действия над к. ч. в алгебраической форме

, 1)  (по правилу сложения (вычитания) многочленов) 2)  (по правилу умножения многочленов, ) 3)  ,

3. Тригонометрическая и показательная форма к. ч.

– модуль, – аргумент Главное значение: или   , ,  – формула Эйлера  

Продолжение таблицы 3.1

4. Умножение и деление к. ч. в тригонометрической и показательной формах

, 1)  2)

5. Возведение в степень n (nN) и извлечение корня степени n из к. ч.

1)  2)  , (n различных значений, изображающихся равноотстоящими друг от друга точками, расположенными на окружности радиуса )

Таблица 3.2 

Опорный конспект «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»

	, ,
	Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Обозна-чение
Определение	Число:	Вектор: : 1)  ; 2)  , ; 3)  – правая тройка.	Число:
Алгебраические свойства	1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  .	1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  .	1)  ; 2)  ; 3)  .

Продолжение таблицы 3.2

	Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Выражение через координаты
Геометрические приложения	1) Ортогональность векторов:  ; 2) Угол между векторами: ; 3) Проекция вектора на вектор: ; 4) Длина вектора: ; 5) Орт вектора : .	1) Коллинеарность векторов:  ; 2) Угол между векторами: ; 3) Площадь параллелограмма: ; 4 ) Площадь треугольника: .	1) Компланарность векторов:  – компланарны; 2) Ориентация векторов:  – правая (левая) тройка; 3) Объем параллелепипеда: ; 4 ) Объем пирамиды: .

При выполнении проекта студенты работают в малых группах.

3) Проекты, связанные с составлением и варьированием (изменением предложенной преподавателем задачи, извлечением из нее дополнительной информации) задач

Можно предложить студентам составить задачи, решение которых охватывало бы весь изученный раздел (или несколько разделов) дисциплины. Например, подобрать такую функцию, чтобы операция вычисления предела этой функции опиралась бы на весь раздел «Предел функции»: определение предела, основные теоремы о пределах, замечательные пределы, предел непрерывной функции, предел сложной функции, эквивалентные бесконечно малые функции. Или, с целью исследования основных характеристик поведения функции требуется построить график функции, заданной различными выражениями для различных областей изменения аргумента (в качестве составляющих необходимо подобрать функции так, чтобы исследование охватило все изученные темы раздела «Математический анализ» курса высшей математики, включающие и общую схему исследования функций и частные методы построения графиков).

В основу работы над проектами по теме «Методы вычисления определенных интегралов» может быть положено рассмотрение особенностей интегрирования периодических функций, функций, имеющих на промежутке интегрирования ось или центр симметрии, а также взаимно обратных функций.

Основными методами, к числу которых относятся, например, применение формулы Ньютона–Лейбница, интегрирование по частям, замена переменной, не исчерпываются все известные методы вычисления определенных интегралов. Существуют и другие – принципиально иные – приемы.

Интегрирование периодических функций

1) Докажите утверждения:

1. «Для непрерывной периодической с периодом T  0 функции f(x) при любых верно равенство ».

2. «Для непрерывной периодической с периодом T функции f(x) первообразная F(x) является периодической (с тем же периодом) тогда и только тогда, когда ».

3. «Для непрерывной периодической с периодом T  0 функции f(x) при любом верно равенство: (интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого равна периоду, всегда принимает одно и то же значение)».

2) Вычислите интеграл .

Указание. Подынтегральная функция периодическая с периодом , поэтому .

Интегрирование функций, график которых имеет ось (центр)

симметрии в середине промежутка интегрирования

1) Докажите утверждение: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [-a; a], симметричном относительно x = 0, то

а) используя геометрический смысл определенного интеграла; б) используя замену переменной интегрирования.

2) Используя полученный в п. 1 результат, докажите справедливость утверждений: «Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и ее график имеет на этом отрезке ось симметрии , то ».

«Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и ее график имеет на этом отрезке центр симметрии в точке , то ».

3) Вычислите интегралы:

; .

4) Докажите, что , .

5) Составьте задачи на вычисление определенных интегралов от функций, графики которых имеют ось (центр) симметрии в середине промежутка интегрирования.

Интегрирование взаимно обратных функций

1) Докажите, что если функция f дифференцируема и обратима на отрезке [a; b], g – обратная для f функция, определенная на f ([a; b]), то функция

является первообразной для функции f на [a; b].

2) Используя полученный в п. 1 результат, докажите справедливость утверждения: «Интеграл от обратимой функции f по отрезку [a; b] связан с интегралом от обратной к ней функции g по отрезку f ([a; b]) посредством равенства:

».

3) Вычислите интеграл двумя способами: а) используя формулу интегрирования по частям; б) сведением к соответствующему определенному интегралу от функции, являющейся обратной к подынтегральной (по формуле из предыдущей задачи).

4) Вычислите интегралы: ; ; двумя способами:

а) используя формулу из п. 2; б) пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла.

5) Составьте задачи на вычисление определенного интеграла сведением к интегралу от функции, являющейся обратной к подынтегральной.

Вычисление определенных интегралов с использованием геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции

1) Используя геометрический смысл определенного интеграла как площади криволинейной трапеции и изобразив эскизы графиков подынтегральных функций, вычислите: ; ; .

2) Составьте задачи на вычисление определенного интеграла с использованием геометрического смысла определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.