2. Практические занятия

Важнейшим видом учебной деятельности студентов при обучении математике является решение задач на практическом занятии. Всякая решаемая студентами задача должна обогащать их знания и опыт, учить искать существенные связи между понятиями, формировать обобщенные способы решения задач. В процессе решения задач студенты накапливают определенные сведения, относящиеся к конкретным проблемным ситуациям или приемам решения.

Наиболее эффективной формой организации совместной деятельности студентов на практических занятиях является работа в парах и малых группах.

Понятием «малая группа» обычно обозначается относительно устойчивая, небольшая по численности группа, члены которой находятся в непосредственном взаимодействии друг с другом. В условиях образовательного процесса такая группа представляет собой объединение учащихся с целью решения конкретно-познавательных, коммуникативно-развивающих задач [38]. Целью межличностного общения в этом случае является развитие навыков сотрудничества.

Малая группа может состоять из 3 – 6 человек, которые взаимодействуют друг с другом таким образом, что каждый из них оказывает влияние и сам подвергается влиянию другого: «Люди, работающие вместе, быстрее вырабатывают правильные решения, отсеивают ошибки, и эффективнее обрабатывают информацию» (P. Laughlin, американский психолог) [16].

2.1. Лабораторные работы

Введение лабораторных работ по математике (практических занятий в форме компьютерного практикума) в дополнение к лекциям и практическим занятиям обусловлено компьютеризацией различных сфер деятельности человека и, как следствие, наличием высокой степени готовности современных студентов к использованию персональных компьютеров в образовательном процессе.

В настоящее время существует много пакетов программ для решения математических задач. Имеются также специальные программы, ориентированные именно на решение статистических задач. Выбор пакета должен определяться квалификацией специалиста (студента). MathCAD и Excel являются наиболее доступными и достаточно простыми для освоения пакетами программ для студентов 1-го и 2-го курсов. Пакет MathCAD широко применяется для научных и инженерных расчетов, доступен для любого пользователя, имеющего начальную подготовку по основам информатики и вычислительной техники и базовые навыки работы с компьютером и прост в освоении: математические выражения вводятся в виде, максимально приближенном к общепринятому. Табличный процессор Excel, входящий в состав пакета Microsoft Office, как правило, установлен на каждом компьютере под управлением OC Windows. Программа имеет обширную библиотеку встроенных статистических функций, дополненную пакетом инструментов «Анализ данных».

Цель лабораторных работ – ознакомить студентов с возможностями использования пакетов программ для решения математических задач; способствовать развитию творческого, критического и независимого мышления, поскольку учащийся может всесторонне исследовать новые объекты, выделить общие закономерности и сформулировать обобщающие утверждения на основе собственных наблюдений; повысить наглядность изучаемых теоретических положений и способствовать более глубокому их пониманию.

Методические указания к лабораторной работе содержат:

1) теоретические сведения, включающие основные определения и формулы по теме работы;

2) примеры решения типовых задач, снабженные комментариями и краткими указаниями, помогающими реализовать решение задачи на компьютере;

3) варианты индивидуальных заданий и список контрольных вопросов.

Отчет по лабораторной работе включает выполнение индивидуального задания и ответы на вопросы.

Рассмотрим задачи, при решении которых применение компьютерных технологий наиболее целесообразно и дает выигрыш по сравнению с традиционными формами обучения.

Задание 1. Построение кривой, заданной уравнением в полярных координатах средствами математического пакета MathCAD.

Часто уравнения, определяющие кривые функциональных зависимостей, записываются в полярной системе координат. При этом для отображения графика функциональной зависимости существует две возможности. Первая состоит в том, чтобы перейти в уравнении к декартовым координатам. Однако в этом случае не всегда можно разрешить полученное уравнение относительно одной из декартовых переменных, в силу чего соответствующая функция будет задана в неявном виде. Вторая возможность связана с построением графика в полярной системе координат.

Дано уравнение кривой в полярной системе координат. Требуется:

а) построить в полярной системе координат точки этой кривой, давая  значения 0, , , , , , , ;

б) перейдя к уравнению той же кривой в декартовой системе координат, показать, что это уравнение кривой второго порядка;

в) преобразовав уравнение, выяснить, какая это кривая, и нарисовать ее на координатной плоскости.

Для решения задачи «вручную» полярному углу  придают заданные значения и вычисляют соответствующие значения . Найденные значения помещают в таблицу. Принимают произвольный отрезок за единицу масштаба, которой пользуются при построении . По значениям  и  из таблицы строят точки, соответствующие каждой паре чисел  и  и соединяют их плавной кривой.

Для нахождения уравнения этой кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совпадает с полюсом полярной системы координат, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, используют формулы , , .

В среде MathCAD предусмотрена возможность построения графика в полярной системе координат.

Для создания полярного графика необходимо определить функцию и щелкнуть в панели График по значку Полярный график.

После этого в рабочий документ будет вставлена область создания полярного графика, в центре которой изображен круг, снизу и слева от которого размещены два местозаполнителя.

Вместо нижнего заполнителя указывается аргумент функции . Заполнитель, находящийся слева от центрального круга в области создания графика, заменяется на название функции с указанием ее аргумента (или на выражение, зависящее от аргумента, указанного вместо нижнего местозаполнителя).

После щелчка мышью вне области создаваемого рисунка строится кривая.

Если диапазон изменения аргумента функции не указан, то по умолчанию он устанавливается в пределах от 0 до 2.

Для построения в полярной системе координат базовых точек заданной кривой аргументу присваивают диапазон значений с определенным шагом: вводят название аргумента и оператор присваивания :=, щелкают мышью по значку Переменная-диапазон в панели Матрица (при этом в документ вставляется структура из двух местозаполнителей, разделенных двумя точками), в местозаполнители вводят границы диапазона и, если необходимо, через запятую второй элемент для определения шага дискретности. Если затем после названия функции ввести знак равенства, то результат будет вычислен для каждого значения аргумента из диапазона и отобразится внизу в виде столбика значений. Для получения точек кривой на вкладке Трассировка диалогового окна Форматирование выбранного полярного графика выбирают тип кривой Точки (колонка Тип) и в качестве базовых символов в колонке Символ указывают точки.

В качестве примеров на рис. 2.1 – 2.6 приводятся фрагменты рабочих документов MathCAD с соответствующими вычислениями и графиками.

Рис. 2.1. Построение точек эллипса

Рис. 2.2. Построение эллипса

Рис. 2.3. Построение точек гиперболы

Рис. 2.4. Построение гиперболы

Рис. 2.5. Построение точек параболы

Рис. 2.6. Построение параболы

Задание 2. Построение трехмерных графиков некоторых поверхностей средствами математического пакета MathCAD. Показать, что данные поверхности второго порядка могут быть представлены параметрическими уравнениями следующим образом:

Эллипсоид

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты центра эллипсоида, – полуоси эллипсоида.

Конус

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: , .

Цилиндрические поверхности второго порядка:

1) Эллиптический цилиндр

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты центра эллипса, – полуоси эллипса.

2) Гиперболический цилиндр

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты центра гиперболы, – полуоси гиперболы.

3) Параболический цилиндр

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: , p.

Гиперболоиды

1) Однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты центра гиперболоида, – полуоси.

2) Двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты центра гиперболоида, – полуоси.

Параболоиды

1) Эллиптический параболоид

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: – координаты вершины параболоида, – полуоси.

2) Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение: .

Параметрические уравнения:

, .

Постоянные параметры: , .

Изучить данные поверхности, построив их изображения в среде MathCAD и изменяя значения постоянных параметров уравнений.

На основе параметрических зависимостей можно построить поверхности практически произвольной формы. В MathCAD предусмотрена возможность создания поверхностей, заданных в параметрическом виде.

Наиболее быстрый и простой способ отображения поверхности, заданной параметрическими уравнениями, состоит в следующем. Сначала необходимо определить зависимости каждой из трех координат x, y, z от переменных-параметров u и v, после чего щелкнуть в панели График по значку График поверхности и в области создания графика в местозаполнитель ввести (в круглых скобках) три координаты, разделенные запятыми (которые предварительно определяются как функции двух параметров; вводятся только их названия, без указания параметров-аргументов).

После щелчка мышью вне поля шаблона нужный график появится на экране. Созданный график можно изменять, меняя сами данные, форматируя его внешний вид или добавляя дополнительные элементы оформления.

Примеры создания графиков поверхностей приводятся на рис. 2.7 – 2.10.

Рис. 2.7. Построение эллипсоида

Рис. 2.8. Построение эллиптического цилиндра

Рис. 2.9. Построение гиперболического цилиндра

Рис. 2.10. Построение параболического цилиндра

Задание 3. Исследование функций и построение графиков средствами математического пакета MathCAD.

Постройте график заданной функции и подтвердите построение аналитическими исследованиями. Найдите точки пересечения графика с координатными осями, точки разрыва, уравнения асимптот. Определите координаты точек экстремума, интервалы монотонности; координаты точек перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Сравните с данными на графике.

В качестве примера определим функцию и построим ее график (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Для построения графика функции, заданной в декартовых координатах, щелкают мышью по значку График X-Y панели инструментов График, вводят в местозаполнитель возле оси абсцисс имя аргумента x, а возле оси ординат – имя функции – f(x) и щелкают по рабочему документу вне окна графиков.

Требуемый диапазон изменения x и y может быть сразу внесен в дополнительные местозаполнители, расположенные вдоль границ осей внизу и слева.

Параметры изображения (цвет и толщину линий, координатную сетку, разметку осей и др.) можно изменить, щелкнув дважды по области графика и установив настройки в соответствующих диалоговых окнах.

Фрагмент рабочего документа MathCAD с соответствующими аналитическими исследованиями приведен на рис. 2.12.

Рис. 2.12

График, дополненный результатами исследования, показан на рис. 2.13.

Рис. 2.13

Задание 4. Статистические расчеты в среде табличного процессора Excel: группировка выборочных данных, вычисление точечных оценок и границ доверительных интервалов, проверка статистических гипотез, построение выборочного уравнения прямой линии регрессии.

Рассмотрим пошаговое решение в среде Excel следующих задач:

1) Проведение группировки выборочных данных

Задача. Пусть имеется выборка значений некоторого признака X объемом n = 50: 9,19, 11,5, 10,7, 12,6, 13,0, 12,3, 7,46, 8,92, 8,80, 11,6, 11,9, 10,9, 5,82, 8,89, 9,32, 8,30, 8,76, 8,01, 15,5, 12,3, 9,46, 9,11, 12,1, 12,5, 9,33, 11,0, 10,1, 9,61, 13,7, 15,0, 12,2, 13,1, 11,7, 10,4, 11,5, 9,02, 9,23, 7,16, 12,0, 10,6, 6,39, 6,97, 9,03, 6,84, 8,29, 10,5, 11,7, 7,05, 12,1, 9,53.

Требуется, разбивая ее на k = 6 групп, составить:

1) интервальный вариационный ряд и построить гистограмму частот;

2) дискретный вариационный ряд и построить полигон частот.

Решение

1. Вводим данные в диапазон А1:А50, выделяем его и щелчком левой кнопки мыши по кнопке , располагаем варианты в порядке возрастания.

2. Из полученного ряда находим значения min X = Аl = 5,82, max X = А50 = 15,5. Их можно получить также встроенными функциями МИН и МАКС соответственно.

3. По формуле = А50 – А1 находим размах выборки X = 9,68.

4. Оценивая шаг , получаем 1,6133. Округляем (только в большую сторону) и принимаем .

5. По формуле

оцениваем крайнее левое значение первого интервала, что дает 5,56. Округляем до 5,6 и убеждаемся, что так округлить можно: 5,6 + 6  1,7 = 15,8 > 15,5.

6. В диапазоне В1:В7 задаем арифметическую прогрессию, с первым членом 5,6, разностью (шагом) 1,7, предельным значением 15,8.

7. С помощью встроенной функции СЧЕТЕСЛИ (для начала работы с Мастером функций следует нажать кнопку в строке формул или кнопку Вставить функцию на вкладке ленты Формулы) подсчитываем число вариантов, принадлежащих промежутку (5,6, 7,3], и записываем результат в ячейку С1. Аналогично подсчитываем и записываем в ячейку С2 число вариантов, принадлежащих промежутку (5,6, 9].

Продолжая вычисления, приходим к последовательности (рис. 2.14).

Рис. 2.14

8. Вводим в ячейку D1 формулу = (B1 + B2)/2 и, копируя ее в ячейки D2:D6, задаем в этом диапазоне середины интервалов. В ячейку Е1 вводим 6, а в ячейку Е2 – формулу = C2 – C1. Копируя ее в ячейки Е3:Е6, получаем последовательность частот (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Таким образом, интервальный вариационный ряд данной выборки записывается в виде:

(5,6, 7,3)	(7,3, 9)	(9, 10,7)	(10,7, 12,4)	(12,4, 14,1)	(14,1, 15,8)
6	8	15	14	5	2

Граничное значение 10,7 отнесено к левому интервалу. Дискретный вариационный ряд задан в диапазоне D1:E6.

9. Построение гистограммы частот проводим следующим образом: в диапазон F1:F6 вносим значения (вводим в ячейку F1 формулу =E1/1,7 и копируем ее в ячейки F2:F6), выбираем тип диаграммы (Гистограмма, Гистограмма с группировкой) с помощью инструментов группы Диаграмма на вкладке ленты Вставка. С помощью инструментария вкладок группы Работа с диаграммами (Конструктор, Макет, Формат) приводим полученную гистограмму к требуемому виду (рис. 2.16).

Рис. 2.16

10. Строим полигон частот: выделяем диапазон E1:E6 и выбираем тип диаграммы (График, График с маркерами) с помощью инструментов группы Диаграмма на вкладке ленты Вставка (рис. 2.17).

Рис. 2.17

Однако основной – наиболее рациональный способ подсчета частот в Excel состоит в применении инструмента «Гистограмма» пакета «Анализ данных». Проведем с его помощью проверку полученных результатов. Нажав кнопку Анализ данных группы Анализ на вкладке ленты Данные и выбрав инструмент Гистограмма, откроем одноименное диалоговое окно и введем данные (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Нажатие ОК приводит к результатам, полученным ранее:

2) Вычисление точечных оценок и границ доверительных интервалов

Встроенная функция СРЗНАЧ вычисляет величину

.

1. Введем в диапазон A1:А50 значения данного ряда.

2. Выделим ячейку B1, откроем диалоговое окно СРЗНАЧ и укажем диапазон A1:А50. Нажатие ОК возвращает среднее значение:

Дисперсия

вычисляется встроенной функцией ДИСПР. Например, продолжая вычисления, получаем:

Исправленная выборочная дисперсия

– несмещенная оценка генеральной дисперсии, находится встроенной функцией ДИСП:

3. Встроенная функция  = ДОВЕРИТ(1 – , , n), где  – доверительная вероятность,  – генеральное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки, позволяет найти доверительный интервал , покрывающий с надежностью  = 1 –  математическое ожидание а нормально распределенного количественного признака X.

Пусть генеральное среднее квадратическое отклонение  = 5, выборочная средняя , объем выборки п = 25,  = 0,95. Найдем соответствующий доверительный интервал.

Выделяем ячейку A1, открываем диалоговое окно ДОВЕРИТ и задаем исходные данные.

После нажатия ОК вводим в B1 значение , а в ячейки С1 и D1 – формулы = B1 – A1, = B1 + A1 соответственно. Они дают границы доверительного интервала:

3) Проверка статистических гипотез

Задача. Пусть задано статистическое распределение выборки

xi	1,3	2,0	2,7	3,4	4,1
ni	5	9	19	11	6

Требуется, используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака X в генеральной совокупности при уровне значимости  = 0,05.

Решение

1. В диапазон A1:В5 вводим данные (рис. 2.19).

2. Поскольку придется вычислять дисперсию, то в ячейку C1 вводим = A1^2 и копируем формулу в ячейки С2:С5.

3. С помощь встроенной функции СУММПРОИЗВ в D1 вычисляем выборочную среднюю, а в D2 – выборочную дисперсию.

4. В ячейке D3 находим . Подготовительные вычисления проведены, переходим к основным вычислениям.

5. В ячейке E1 задаем формулу = (Al – $D$l)/$D$3 и копируем ее в ячейки E2:Е5.

6. В ячейке F1 задаем формулу =EXP(((-1)*(E1^2))/2)/КОРЕНЬ(2*ПИ()) и копируем в ячейки F2:F5.

7. В столбце G, также копированием, вычисляем теоретические частоты. Исходная формула, помещаемая в ячейку G1: =Fl*50*0,7/$D$3.

8. В ячейку H1 вводим формулу =(Gl-Bl)^2/Gl и копируем в диапазон H2:Н5.

9. Выделяем столбец H1:Н5 и с помощью кнопки в ячейку Н6 помещаем наблюдаемое значение критерия:

Рис. 2.19

10. Открываем диалоговое окно ХИ2ОБР, чтобы найти критическое значение критерия. Задаем данные (Вероятность: 0,05, Степени_свободы: 2) и считываем результат: 5,991.

Так как наблюдаемое значение критерия меньше критического, то гипотеза принимается.

Замечание 1. Теоретические частоты столбца G можно вычислить и более коротким способом. Пусть выполнены пункты 1–4. Выделяем ячейку E1, открываем диалоговое окно НОРМРАСП и задаем данные (X: A1, Среднее: D$1, Стандартное_откл: D$3, Интегральная: 0).

Нажатием OK вставляем результат в El и копированием формулы ячейки Е1 заполняем диапазон Е2:Е5. В ячейку F1 вводим формулу =El*35, так как п  h = 35, копируя ее в диапазон F2:F5, в столбце F получаем значения теоретических частот (рис. 2.20).

Рис. 2.20

Замечание 2. Получив значения теоретических частот, проверить гипотезу о нормальном законе распределения можно иначе, чем в пунктах 8–10. Открываем диалоговое окно ХИ2ТЕСТ, задаем данные (Фактический_интервал: B1:B5, Ожидаемый интервал: F1:F5), нажимаем OK, получаем 0,638.

Так как полученное значение вероятности больше 0,5, то отвергать гипотезу нет оснований.

Замечание 3. Зная вероятность , можно найти : ХИ2ОБР(0,63836;4) = 2,535.

4) Построение выборочного уравнения прямой линии регрессии

1. По заданной совокупности точек , выборочный коэффициент корреляции

вычисляется встроенной функцией КОРРЕЛ или ПИРСОН.

Для вычисления выборочной ковариации

предназначена встроенная функция КОВАР.

Пусть в диапазон A2:A7 введены значения , а в диапазон B2:B7 – значения .

Выделяем свободную ячейку, открываем с помощью мастера функций диалоговое окно КОРРЕЛ и вводим данные: в поле Массив 1 – A2:A7, в поле Массив 2 – B2:B7. Нажатием OK коэффициент корреляции вставляется в выбранную ячейку. Аналогично находится коэффициент ковариации.

2. Если по заданным точкам надо найти коэффициенты выборочного Y на X уравнения прямолинейной регрессии , то используются встроенный функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК соответственно. Порядок ввода данных в их диалоговые окна является существенным: сначала вводятся значения , а затем . Поместим значения k и b в ячейки C2 и D2 соответственно (рис. 2.21).

Построим выборочное уравнение прямой регрессии.

Для этого вводим в E2 формулу =$C$2*A2+$D$2 и копируем ее в ячейки E3:E7 (рис. 17). Выделяем с помощью левой кнопки мыши и клавиши <Ctrl> диапазоны A2:A7 и E2:E7 и, переходя к группе ленты Вставка – Диаграммы – Точечная, получаем искомый график (рис. 2.22).

Рис. 2.21

Рис. 2.22

Замечание. Встроенная функция ЛИНЕЙН возвращает одновременно оба коэффициента уравнения и, по запросу пользователя, дополнительную регрессионную статистику.

В приложении Excel существует возможность рассчитать наиболее подходящую линию, которая проходит через серию заданных точек. Для этого используется инструмент ЛИНИЯ ТРЕНДА.

Выделим диапазон A2:B7, перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем кнопку типа создаваемой диаграммы – Точечная .

На основе данных диаграммы построим линию тренда: перейдем на контекстную вкладку Работа с диаграммами, на ленте Макет в группе Анализ выберем пункт Линия тренда, а затем нажмем Дополнительные параметры линии тренда. В категории Параметры линии тренда в разделе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выберем Линейная.

Чтобы показать на диаграмме уравнение линии тренда и величину достоверности аппроксимации, установим флажки «показывать уравнение на диаграмме», «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» (рис. 2.23).

Рис. 2.23

В математической статистике условия задач на составление уравнения регрессии, как правило, задаются не рядами данных, а корреляционными таблицами. Рассмотрим, как в этом случае вычисляются выборочный коэффициент корреляции

и коэффициенты выборочного уравнения прямой линии регрессии.

Задача. В корреляционной таблице представлено распределение 50 гастрономических магазинов области по уровню издержек обращения X (%) и годовому доходу Y (млн. руб.). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y по X.

Y \ X	4–6	6–8	8–10	10–12	12–14
0,5–2,0			2	3	1
2,0–3,5		4	5	1
3,5–5,0		8	5	5
5,0–6,5	3	8	2
6,5–8,0	2	1

Решение

1. Вычисляем числовые характеристики составляющей X, помещая и в ячейки I1 и I3 соответственно (рис. 2.24).

2. Вычисляем числовые характеристики составляющей Y, помещая и в ячейки I6 и I8 соответственно (рис. 2.24).

Рис. 2.24

3. В диапазон B12:F16 вводим корреляционную матрицу, в диапазон J11:N11 – варианты , в диапазон I12:I16 – варианты .

4. В ячейку J12 вводим формулу =B12*$I12*J$11, а затем копируем ее в остальные ячейки диапазона J12:N16.

5. В ячейке O17 находим сумму элементов диапазона J12:N16.

6. Изменяя формулу =СУММ(J12:N16) ячейки O17 таким образом, чтобы она приняла вид =(СУММ(J12:N16)-G7*I1*I6)/(G7*I3*I8), согласно формуле для r, приведенной выше, получаем в O17 значение выборочного коэффициента корреляции: -0,619 (рис. 2.25).

Рис. 2.25

7. В ячейке K2 вычисляем коэффициент k выборочного уравнения прямой регрессии по формуле: =O17*I8/I3. Получаем -0,52.

8. В ячейке K3 вычисляем свободный член b выборочного уравнения прямой регрессии по формуле: =I6-K2*I1. Получаем 8,46.

Ответ: .