1. Лекции

Математик, который не есть отчасти поэт, не будет никогда подлинным математиком.

К. Вейерштрасс

В современных условиях роль вузовской лекции меняется. Она становится более гибкой, дифференцированной, многофункциональной, полнее выполняет организационно-ориентационную, мотивационную, методологическую, развивающую и воспитывающую функции обучения.

«Лекция… все больше становится формой совместного «думания» вслух лектора и студентов и призвана побуждать у последних вкус к знанию, к соприкосновению с реальностью. Лекция должна инициировать вопросы и желание найти ответы на них – в книгах, в беседах с компетентными людьми, в наблюдениях, раздумьях и экспериментах; наконец, она должна развивать пытливость, учить отыскивать нужную информацию и оперировать ею…».

В зависимости от характера изучаемого материала, уровня подготовки слушателей, используются различные способы руководства деятельностью студентов на лекции, стимулирующие их активность, формирующие самостоятельность и самоконтроль.

Во всех случаях лекция остается формой живого активного общения лектора с аудиторией, их совместной продуктивной деятельности.

1.1. Проблемная лекция

Проблемная лекция предполагает изложение материала с использованием проблемных вопросов, задач, ситуаций. При этом процесс познания приближается к исследовательской деятельности через научный поиск, диалог, анализ, сравнение разных точек зрения.

Преподаватель в начале и по ходу изложения учебного материала создает проблемные ситуации и вовлекает студентов в их анализ. Разрешая противоречия, заложенные в проблемных ситуациях, обучаемые самостоятельно могут прийти к тем выводам, которые преподаватель должен сообщить в качестве новых знаний.

Рассмотрим примеры создания проблемных ситуаций.

1. Тема «Кривые второго порядка»

При изучении эллипса рассматривается построение «некоторой» кривой вручную с помощью линейки, карандаша и нити. На бумаге строят две взаимно перпендикулярные оси. На одной из них (оси Ox) откладывают от точки пересечения осей O вправо и влево равные отрезки и длиной а и равные отрезки вправо и влево и длиной c (которые определяют фокусы и эллипса). Берут нить длиной 2а, закрепляют ее концы в точках и . Если с помощью карандаша натянуть нить, то будут получаться точки «кривой». Верхняя половина «кривой» получится, если карандаш передвигать из правой точки против часовой стрелки до точки (так как ). Нижняя половина строится аналогично.

Лектор отмечает, что полученная кривая имеет большое теоретическое и практическое значение, поэтому очень важно изучить свойства данной кривой (эллипса). Задается вопрос: «Можете ли вы указать какие-нибудь свойства эллипса?». Студенты по чертежу легко определяют такие свойства, как симметрия, указывают интервалы знакопостоянства, монотонности, находят точки экстремума. Преподаватель подтверждает правильность ответов студентов, но подчеркивает, что этих свойств недостаточно, надо выявить неочевидные, «глубинные» свойства эллипса. Как это сделать? С чего начать? Создалась проблемная ситуация: студенты поставлены в состояние интеллектуального затруднения, когда предшествующих знаний недостаточно для изучения свойств кривой. Здесь студенты слабо осознают основную причину своих затруднений (учебную проблему), поэтому лектор стремится организовать мыслительную деятельность студентов на выявление и формулировку проблемы: «Что нужно прежде всего знать о кривой, чтобы иметь возможность изучить ее свойства средствами математики?». Студенты дают ответ: «чтобы изучить свойства кривой, нужно, прежде всего, дать ее математическое определение». Так в результате анализа проблемной ситуации возникает конкретная проблема. После этого студенты получают задание дать определение эллипса, основываясь на способе его построения (нужно подсказать, что эллипс следует определить как множество точек, обладающих определенным свойством). Приведенные студентами определения анализируются.

Можно обратить внимание на неточности в определениях эллипса и гиперболы, часто встречающиеся в учебных пособиях. Эти неточности состоят в том, что зачастую не оговаривается, что сумма расстояний от точки эллипса до фокусов должна быть больше расстояния между фокусами, а разность расстояний от точки гиперболы до фокусов по абсолютной величине должна быть положительной и меньшей расстояния между фокусами.

Полезно предложить студентам на лекции найти множества точек на плоскости, не лежащих на кривых, для которых:

• сумма расстояний каждой точки до фокусов равна расстоянию между фокусами;

• разность расстояний каждой точки до фокусов равна нулю;

• разность расстояний каждой точки до фокусов равна расстоянию между фокусами.

Неточности (причем принципиального характера) встречаются в учебниках также при выводе уравнений кривых второго порядка: приходится возводить в квадрат иррациональные выражения, что может привести к появлению «лишних» точек, не лежащих на этих кривых. Лектор должен обратить на это внимание студентов и сказать, что можно доказать равносильность приведенных преобразований, сообщив при этом план доказательства.

Можно показать студентам общие подходы к кривым второго порядка.

Первое определение

Эллипс является геометрическим местом точек M плоскости, таких что , где и – данные точки плоскости, c – данное число, причем . Точки и называются фокусами эллипса.

Гипербола – геометрическое место точек M, для которых , причем , . (точки и – фокусы гиперболы). Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F и от данной прямой d (точка F – фокус параболы, прямая d – ее директриса).

Второе определение

Эллипс задается на координатной плоскости уравнением , гипербола – уравнением , парабола – уравнением .

Из первого определения легко вывести уравнения этих кривых, при этом фокусы эллипса и гиперболы нужно расположить на оси Ox симметрично относительно начала координат, а фокус параболы – на оси Ox.

Далее можно отметить, что в школе давались совсем другие определения. Парабола задавалась уравнением , гипербола – уравнением .

Перед студентами ставятся проблемы: найти отличия между гиперболой, изученной в школе, и построенной на лекции; можно ли из построенного изображения гиперболы получить вид гиперболы, известной из школы? каким образом это можно сделать? Каким образом из канонического уравнения гиперболы можно получить уравнение обратной пропорциональности?

Если , то гипербола в этом случае становится так называемой равносторонней гиперболой. Если оси координат повернуть на угол , то уравнение равносторонней гиперболы принимает знакомый вид: , или , где (решение задачи приводится, например, в [25]).

В итоге студенты склоняются к важному результату, заключающемуся в том, что школьные представления о понятии гиперболы не противоречат изученному на лекции, что «школьная гипербола» является частным случаем более общего понятия.

При изучении параболы студентам предлагается ответить на аналогичные вопросы: является ли полученное изображение графиком однозначной функции? чем отличается изображение параболы, известное из школы, и полученное на лекции? Можно ли из построенного изображения параболы получить вид параболы, известной из школы? каким образом это можно сделать? каким образом из канонического уравнения параболы можно получить формулу задания квадратичной функции?

В результате изучения обеих кривых студенты делают важное обобщение о том, что разночтения между школьными и вузовскими определениями понятий носят «внешний» характер, и на самом деле эти определения не противоречат друг другу.

Рис. 1.1

Можно предложить студентам найти способ построения параболы вручную с помощью линейки, угольника, карандаша и нити (рис. 1.1).

Нарисуем на листе бумаги точку – фокус F и прямую – директрису параболы. Вдоль директрисы закрепим линейку. К ней приложим вплотную угольник своим меньшим катетом. К вершине противолежащего острого угла угольника надо прикрепить нить, длина которой равна большему катету. Второй конец нити надо закрепить в фокусе. Карандашом натянуть нить вдоль большого катета угольника; получится точка параболы. Двигая угольник вдоль линейки так, чтобы карандаш удерживал нить натянутой и прижатой к большему катету угольника, получим непрерывную линию – параболу.

Третье определение

После того как становится известным, что эллипс, гипербола, парабола и их вырождения исчерпывают класс кривых второго порядка, студенты (с помощью преподавателя) должны «заподозрить» у них общее геометрическое свойство. После этого лектор рассказывает о том, что кривые второго порядка и их вырождения имеют одинаковое «происхождение»: они являются сечениями плоскостью поверхности конуса.

Коническим сечением (или коникой) называется кривая, полученная при пересечении плоскости с конусом.

Под конусом понимается прямой круговой конус: фигура, которая состоит из прямых, проходящих через данную точку A и образующих данный угол с прямой l, проходящей через точку A. При этом мы считаем, что конус образован именно прямыми, а не лучами или отрезками (как определяется в школьных учебниках). Эти прямые называются образующими конуса (поскольку именно они образуют конус), прямая l – его осью, а точка A – его вершиной. Таким образом, конус является неограниченной фигурой и состоит из двух половинок, центрально-симметричных относительно вершины A.

Если пересечь конус плоскостью, не проходящей через вершину, получим коническое сечение. Конические сечения бывают трех видов: эллипс, гипербола и парабола. Эллипс получается, когда плоскость не параллельна ни одной из образующих и пересекает только одну половину конуса (рис. 1.2, а), гипербола – когда плоскость пересекает обе половины (рис. 1.2, б), а парабола – когда плоскость параллельна одной из образующих (рис. 1.2, в).

а)	б)	в)
Рис. 1.2

«Вырожденные коники» соответствуют случаю, когда плоскость проходит через вершину конуса (в этом случае может получиться либо пара прямых, либо одна прямая, либо точка).

Студентам будет интереснее и поучительнее увидеть образование кривых второго порядка в процессе динамики, то есть в процессе непрерывного изменения положения секущей плоскости. Если плоскость пересекает конус параллельно его основанию, то в сечении получается окружность (в частности, точка как окружность нулевого радиуса). Если плоскость наклонять, то сечение становится эллиптическим. Чем сильнее наклоняется плоскость, тем больше вытягивается эллипс, оставаясь эллипсом до тех пор, пока плоскость не станет параллельной образующей конуса. Как только это произойдёт, кривая перестает быть замкнутой, и две ее ветви устремляются в бесконечность, образуя параболу. Дальнейший наклон плоскости приведет к тому, что она пересечет вторую половину конуса. В этом случае коническое сечение есть гипербола (распространена ошибка, будто для образования гиперболы секущая плоскость обязательно должна быть параллельна оси конуса). Форма ветвей гиперболы меняется с изменением наклона плоскости до тех пор, пока они не выродятся в две пересекающиеся прямые.

Четвертое определение

Поучительно рассмотреть (без доказательства) так называемое общее уравнение кривых второго порядка, отнесенное к вершине [17] (начало декартовой прямоугольной системы координат находится в вершине линии – точке пересечения с координатной осью):

,

которое при определяет окружность (в частности, при  и  – точку). Если эксцентриситет  возрастает, оставаясь меньше единицы, то , – имеем непрерывно деформирующийся эллипс. Как только эксцентриситет становится равным единице, эллипс «превращается» в параболу. При дальнейшем увеличении эксцентриситета получим гиперболу.

Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка: эллипс (кроме окружности), гипербола и парабола, – является геометрическим местом точек, отношение расстояния которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная (эксцентриситет). При таком подходе определения и уравнения различных кривых второго порядка отличаются друг от друга лишь величиной эксцентриситета. Таким образом, оказывается, что эксцентриситет, который раньше был лишь показателем степени «сплюснутости» кривой, теперь становится одной из важнейших характеристик, видовым признаком, позволяющим по уравнению отличить одну кривую второго порядка от другой.

«Здесь можно проследить всю эволюцию форм кривых второго порядка. В первом акте высокой трагедии мы будем наблюдать деформирующийся эллипс, один из фокусов которого устремился в бесконечность, увлекая за собой и центр эллипса. Во втором акте меняющееся значение эксцентриситета достигает значения, равного единице, и тогда, только на одно мгновение мелькает образ параболы с тем, чтобы тотчас исчезнуть и дать место новому существованию – гиперболе. Последний акт будет длиться бесконечно долго – деформирующаяся гипербола может жить не спеша, но судьба ее выродиться в пару прямых предрешена» [20].

Умение видеть изменение геометрического образа при изменении параметров имеет большой познавательный смысл. Подобные примеры не только развивают воображение студентов, их эстетическое восприятие, но и делают изучение учебного материала по-настоящему интересным.

В книге Дж. Литлвуда «Математическая смесь» можно прочитать цитату, взятую из сочинения Р. Болла «The story of the heavens» (1886 г.): «Если эллипс и не обладает законченной простотой окружности, то он, по крайней мере, привлекает богатством форм... являясь линией абсолютного изящества, вызывающей в нас самые возвышенные представления...».

С интересом воспринимают студенты сообщение о том, что теорию кривых второго порядка создали древние греки, не зная метода координат. Так, Менехм в середине IV века до н. э. доказал, что эллипс, гипербола и парабола являются сечениями конуса. Наиболее полное исследование конических сечений изложено в книге «Коника» Аполлония Пергского, написанной, как считается, между 210 и 200 годами до н. э. Аполлоний был третьим после Евклида и Архимеда великим представителем Александрийской школы. Его «Коника» – грандиозный труд, состоящий из восьми книг. В первых семи книгах, дошедших до нас, содержится 387 теорем, подчас весьма сложных, с подробными доказательствами. В течение двух тысячелетий «Коника» была настольной книгой математиков и главным руководством по изучению конических сечений. Теория конических сечений изложена Аполлонием настолько подробно и глубоко, что математикам мало что удавалось добавить нового, несмотря на бурный прогресс математической науки. Это уникальный факт в истории математики.

Древние греки создавали геометрию конических сечений как «чистую» геометрию, она не находила своего применения почти двадцать веков, пока Кеплер не использовал ее для создания теории движения небесных тел, согласно которой планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Исходя из этой теории, Ньютон создал механику, служащую основой физики и техники. Трудно представить себе, насколько задержалось бы развитие человечества, если бы в свое время не была бы создана «неприкладная» теория конических сечений. А в последствии оказалось, что кривые второго порядка являются траекториями и других небесных тел. Позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости – по эллипсу, при достижении второй космической скорости – по параболе, а при скорости, большей второй космической – по гиперболе. Образно говоря, кривые второго порядка являются неотъемлемым элементом геометрической картины мироздания.

Конические сечения обладают многими замечательными свойствами, из которых оптические, или, как их называют, «фокальные», свойства занимают особое место.

Теорема (фокальное свойство коник). Касательная к эллипсу (гиперболе) образует равные углы с отрезками, соединяющими точку касания M с фокусами и . В случае гиперболы касательная является биссектрисой угла , а в случае эллипса – биссектрисой смежного угла. Касательная к параболе, проведенная в точке M, образует равные углы с прямой и осью параболы.

Доказательство фокальных свойств коник приводится, например, в [41].

Таким образом, луч света, вышедший из фокуса эллипса, отразится от его поверхности и попадет во второй фокус. Если в фокусе эллипса находится источник света, то пучок световых лучей после отражения от поверхности эллипса сойдется во втором фокусе.

Если источник света поместить в одном из фокусов гиперболы, то отраженный пучок световых лучей будет расходящимся, а воображаемые продолжения лучей соберутся во втором фокусе.

Наконец, пучок света, выходящий из фокуса параболы, отразившись от ее поверхности, становится пучком параллельных лучей.

Фокальное свойство параболы, открытое еще Аполлонием, ныне используется повсеместно. Параболическое зеркало в карманном фонарике создает узкий направленный световой луч. Принцип работы параболической антенны или параболического зеркала в телескопе также основан на свойстве параболы превращать пучок параллельных лучей (а значит, и лучей, идущих от далекого источника) в пучок, сходящийся в одной точке.

В фантастическом романе Алексея Толстого «Гиперболоид инженера Гарина» устройство страшного разрушительного оружия – гиперболоида, которым Гарин хотел покорить мир, – описывалось так:

«Гарин, раскрывая чемодан, посматривал на нее обведенными синевой блестящими глазами.

– Вот мой аппарат, – сказал он, ставя на стол два металлических ящика: один – узкий, в виде отрезка трубы, другой – плоский, двенадцатигранный – втрое большего диаметра…

Он наклонился над Зоиным креслом (вдохнул запах ее волос), развернул чертежик, размером с половину листа писчей бумаги.

– Вы хотели, Зоя, чтобы я также рискнул всем в нашей игре… Смотрите сюда… Это основная схема… Это просто, как дважды два. Чистая случайность, что это до сих пор не было построено. Весь секрет в гиперболическом зеркале A, напоминающем формой зеркало обыкновенного прожектора, и в кусочке шамонита B, сделанном также в виде гиперболической сферы. Закон гиперболических зеркал таков: лучи света, падая на внутреннюю поверхность гиперболического зеркала, сходятся все в одной точке, в фокусе гиперболы. Это известно. Теперь, вот что неизвестно: я помещаю в фокусе гиперболического зеркала вторую гиперболу (очерченную, так сказать, навыворот) – гиперболоид вращения B, выточенный из тугоплавкого, идеально полирующегося минерала – шамонита, – залежи его на севере России неисчерпаемы. Что же получается с лучами? Лучи, собираясь в фокусе зеркала A, падают на поверхность гиперболоида B, и отражаются от него математически параллельно, – иными словами, гиперболоид B концентрирует все лучи в один луч, или в «лучевой шнур» любой толщины… Путем установки гиперболоида B, я доводил «лучевой шнур» до толщины вязальной спицы и легко разрезывал им дюймовую доску… Здания, крепости, дредноуты, воздушные корабли, горы, кора земли – все пронижет, разрежет мой луч…»

Рис. 1.3

Можно предложить студентам обнаружить несколько неточностей в конструкции гиперболоида. Гиперболическое зеркало переводит пучок световых лучей, выходящих из фокуса, не в сходящийся, а, напротив, в расходящийся пучок света. Как мы теперь знаем, лучи вовсе не сойдутся в фокусе гиперболы. Это их воображаемые продолжения сойдутся в фокусе. Для того чтобы отраженные лучи сошлись в фокусе, внешнее зеркало A должно иметь форму не гиперболы, а эллипса. А чтобы внутреннее зеркало B переводило пучок отраженных лучей в параллельный пучок («лучевой шнур»), оно должно иметь форму, опять же, не гиперболы, а параболы (рис. 1.3). В этом писатель ошибся. Парадоксально, но в известном всему миру гиперболоиде инженера Гарина на самом деле нет ни одного гиперболоида. Внешнее зеркало A должно иметь форму эллипсоида, а внутреннее B – параболоида.