На сайте http://www.Mathtest.Ru (тесты по математике online) можно за 15 минут или быстрее проверить свой уровень знаний по математике за любой раздел первого курса.
Сайт http://www.math.rsu.ru/mexmat/ma/nalb/testi/ создан для отработки практического навыка в решении примеров по теме «Экстремумы функции одной переменной». Здесь предлагаются упражнения трех типов. Любое упражнение решается по этапам. На каждом этапе ставится вопрос, и предлагаются 3-4 варианта ответа. Необходимо выбрать правильный ответ и нажать на него. В новом окне появится следующий вопрос с вариантами ответа, а также правильный ответ на предыдущий вопрос. И так пока не будет решено все упражнение.
3.1. Использование рабочих тетрадей
Рабочая тетрадь по математике – это комплекс разнообразных заданий, которые помогают студентам освоить учебный курс и содержат дидактический материал для поддержки аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Рабочие тетради содержат теоретический материал (обязательный материал в виде опорных конспектов или в виде ответов на поставленные перед студентом вопросы и дополнительные сведения), и разнообразные практические задания. Используется такое представление информации, при котором студенту предлагается пошаговая, поэлементная последовательная процедура, при которой каждый элементарный шаг может быть достаточно просто осуществлен студентом, а переходы от одного шага к другому подробно управляются указаниями преподавателя в письменном виде. По мере увеличения числа задач, которые студент должен решить, предполагается постепенное уменьшение степени внешнего участия преподавателя в работе студента и увеличение доли самостоятельно выполняемых шагов – вплоть до заданий, полностью решаемых без помощи преподавателя (такие задания снабжены ответами, чтобы студент имел возможность контролировать результаты своей самостоятельной работы). Часть заданий имеет подробные решения, чтобы студент имел возможность действовать «по образцу».
Для решения задач повышенного уровня сложности, также входящих в рабочую тетрадь, студенту предлагается алгоритм решения задания, но без пошагового выполнения.
Изучив теоретический материал соответствующей темы, студенты сначала разбирают решенные типовые задачи, затем решают задачи по образцу, затем по заданному алгоритму или схеме, заполняя пропуски, или, имея только условие, самостоятельно решают следующие задачи (переходят от репродуктивных действий к продуктивным). В тетради есть задачи, в которых студент может изменить или добавить условие или вопрос задачи, предложить свой способ решения (это уже задачи творческого характера).
Наличие рабочей тетради дает преподавателю уверенность, что студенты производят именно те операции, которые нужны, и что они складываются в ту систему, которая требуется.
Фрагмент рабочей тетради по теме «Кратные интегралы»
Задание 1. Используя конспект лекции, рекомендованную литературу и опорный конспект, ответьте на вопросы:
1. Какой интеграл называется повторным (двукратным)?
2. Как двойной интеграл сводится к повторному?
Опорный конспект «Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах» |
Ч
его необходимо свести к повторному (двукратному):
или
|
Сведение двойных интегралов к повторным: |
1. Случай прямоугольной области |
Если
|
тобы
вычислить двойной
интеграл
.
или
.
,
то
.
2. Случай произвольной области |
|
2.1. Область D – область 1-го вида |
2.2. Область D – область 2-го вида |
|
|
a
и b
– абсциссы крайних (левой и правой)
точек области
D;
|
c
и d
– ординаты крайних (нижней и верхней)
точек области
D;
|
и
– уравнения линий, через которые
входим в область D
и выходим из области D
при движении через область D
вдоль оси Oy
и
– уравнения линий, через которые
входим в область D
и выходим из области D
при движении через область D
вдоль оси Ox
3. Как
определяются a,
b,
,
для области 1-го вида? c,
d,
,
для области 2-го вида?
Задание 2. Дополните предложения недостающей информацией:
В повторном
интеграле интеграл, содержащий функцию
,
называется …, другой интеграл – ….
При вычислении повторного интеграла сначала берется … интеграл, затем – ….
Каждый из них вычисляется при помощи формулы … как определенный интеграл.
При вычислении
выражения
интегрирование ведется по переменной
…, а переменная … при этом играет
роль константы (как и любое выражение
вида p(…),
зависящее только от …).
В результате получается функция
одной переменной ….
При вычислении
выражения
интегрирование ведется по переменной
…, а переменная … при этом играет
роль константы (как и любое выражение
вида p(…),
зависящее только от …).
В результате получается функция
одной переменной ….
Области, не представимые в описанном в опорном конспекте виде, следует разбить на конечное число областей 1-го и (или) 2-го вида при помощи прямых, параллельных координатным осям.
Запишите свойство двойного интеграла, которое применяется при вычислении двойных интегралов по таким областям: ….
Задание 3. Рассмотрите и дополните решение задач 1-5, заполняя пропуски:
З
адача 1. Представьте
двойной интеграл
,
где D
– область, ограниченная линиями: y = x2,
y = 0,
x = -2,
x = -1
(рис. 3.1),
в виде повторного интеграла двумя
способами.
Решение
1-й способ: Область D можно рассматривать как область 1-го вида:
.
Следовательно,
.
2-й способ: Поскольку правая граница области D состоит из дуги и отрезка, задаваемых различными уравнениями, то область D необходимо разбить на две области 2-го вида горизонтальной прямой y = 1. Тогда
.
Следовательно,
.
Задача 2. Сделайте чертеж заданной области интегрирования D и представьте двойной интеграл в виде повторного двумя способами:
а) D ограничена линиями: y = 0, x = 5, y = x;
б) D
ограничена линиями: y = 0,
,
;
в) D – треугольник с вершинами в точках: O(0; 0), A(2; 1), B(3; -2);
г) D
– круг:
.
Решение
а) Выполним чертеж. Область D можно рассматривать как область 1-го вида и как область 2-го вида.
1
-й способ:
Рассматривая область D
как область 1-го вида, получим:
.
Тогда .
2-й способ: Рассматривая область D как область 2-го вида, получим:
;
.
б
) Выполним
чертеж.
1-й способ: Поскольку верхняя граница области D состоит из дуг, задаваемых различными уравнениями, то область D необходимо разбить на две области 1-го вида вертикальной прямой, проходящей через точку пересечения этих дуг. Далее следует в уравнениях дуг выразить y через x и для каждой из полученных областей записать систему неравенств:
y = …;
y = … ;
;
.
2-й способ:
; .
в) Выполним чертеж.
Найдем уравнения прямых OA, OB, AB, на которых расположены стороны треугольника.
Воспользуемся
уравнением прямой, проходящей через
две заданные точки:
.
Прямая OA:
,
откуда
или
;
прямая OB: 
,
откуда
или
;
прямая AB: , откуда или .
1-й способ:
; .
2-й способ:
;
.
г) Область
D
ограничена окружностью
с центром в точке
и радиусом
.
В
ыполним
чертеж.
1-й способ:
Выразим в уравнении окружности y через x:
,
,
.
Уравнение
соответствует верхней, а уравнение
– нижней полуокружностям, ограничивающим
область D.
; .
2-й способ:
Выразим в уравнении окружности x через y:
,
.
Уравнение
соответствует правой, а уравнение
– левой полуокружностям, ограничивающим
область D.
; .
Задача 4. Измените порядок интегрирования в повторном интеграле:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение
а) Данный интеграл соответствует случаю 2.1. Следовательно,
.
Чтобы
построить область D,
преобразуем уравнение
:
,
– окружность с центром в точке
и радиусом
.
Уравнение
задает верхнюю полуокружность.
У
равнение
определяет прямую.
Выполним чертеж.
Выразим в уравнениях прямой и окружности x через y:
, .
Левой полуокружности соответствует уравнение
….
Зададим область D системой неравенств, соответствующей области 2-го вида:
,
тогда
.
б) Данный интеграл соответствует случаю 2.2. Следовательно,
.
Чтобы
построить область D,
преобразуем уравнение
:
.
Уравнение
определяет ….
Выполним чертеж.
В
ыразим
в уравнении
y
через x:
.
Верхней ветви параболы соответствует уравнение ….
Зададим область D системами неравенств, соответствующими случаю 2.1:
,
тогда
.
в) Каждый из интегралов суммы соответствует случаю 2.2:
.
Выполним чертеж.
Область D можно рассматривать как область 1-го вида.
Найдем точку пересечения прямой и параболы и выразим в уравнениях нижней и верхней границ области D y через x:
Тогда
и
.
Задача 5. Вычислите данные повторные интегралы:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
а) Решение. Сначала по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем внутренний интеграл
.
Полученный результат подставляем во внешний интеграл:
.
Ответ:
.
б) Решение
1) 
.
2) 
.
Ответ:
.
в) Решение
1) 
.
2) 
.
Ответ:
.
г) Решение
1) 
.
2) 
.
Ответ:
.
д) Решение
1) 
.
2) 
.
Ответ:
.
Задание 4. Рассмотрите решение задачи 6. Сформулируйте несколько вопросов по решению.
З
адача 6. Вычислите
двойной интеграл
,
где D
– область, ограниченная прямыми y = x,
x = 2
и гиперболой
xy = 1.
Решение. 1) Изобразим область D на чертеже.
Область D можно рассматривать как область 1-го вида. Тогда
.
Таким образом
.
2) Вычислим внутренний интеграл:
.
Вычислим внешний интеграл:
.
Ответ:
.
3) Если провести прямую y = 1 и в уравнениях y = x и xy = 1 выразить x через y, то область D можно рассматривать как объединение областей 2-го вида, определяемых системами неравенств:
.
Тогда
.
Вычислите полученные повторные интегралы. При этом должен получиться тот же результат: .