1.2 Лекция-визуализация

Лекция-визуализация (с лат. visualis – зрительный) предусматривает визуальную форму представления лекционного материала с помощью современных технических средств, опорных конспектов на бумажных носителях или посредством аудио-, видеотехники. Чтение такой лекции предполагает развернутое или краткое комментирование просматриваемых визуальных материалов (изобразительных: рисунков, фотографий и символических: опорных схем, таблиц, графов, графиков, моделей).

Визуализация эффективна в процессе обучения математике в аудиториях, снабженных компьютером, мультимедиа проектором и экраном, а также при самостоятельном изучении соответствующих понятий и теорем за персональным компьютером.

Преподаватель предъявляет демонстрационные материалы, которые не только дополняют словесную информацию, но сами выступают носителями содержательной информации.

При проведении такой лекции студенты являются активными слушателями – «Развитие технических средств не может заменить лекцию, но должно в корне изменить ее методическое построение, а, следовательно, и восприятие, т.е. заставить слушателя активно работать вместе с лектором» (В.А. Венников) – систематизируют, выделяют и фиксируют наиболее значимые, существенные элементы учебного материала, отвечают на вопросы и выполняют задания преподавателя.

Конспектирование лекции-визуализации предполагает схематичное изображение ее содержания. Условно существуют три варианта конспектирования. Первый – выделение времени в процессе лекции на перерисовывание необходимых наглядных изображений. Второй – преподавателем готовится раздаточный материал: графики, схемы, таблицы. Третий, наиболее популярный, – электронная версия лекции, для последующей самостоятельной распечатки студентом или изучения с использованием компьютера.

Рассмотрим фрагмент лекции-визуализации (презентации) по теме «Поверхности второго порядка».

Первый слайд содержит определение и классификацию поверхностей второго порядка (и случаи их вырождения) (табл. 1.1):

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат x, y, z.

Второй слайд – описание метода сечений:

Метод сечений

Исследуемую поверхность пересекают плоскостями и анализируют уравнения полученных в сечениях кривых. Для большей информативности сначала следует выбирать секущие плоскости, проходящие через центр поверхности (если он имеется). Удобно исследовать полученные в сечении кривые, если в качестве секущих плоскостей выбирать координатные плоскости (их уравнения , , ) и (если необходимо) плоскости, им параллельные (их уравнения: , , ). Тогда уравнения полученных в сечении кривых имеют вид:

В каждой секущей плоскости строят соответствующую кривую. Для уточнения формы поверхности или ограничения ее можно использовать большее количество сечений. Видимую часть поверхности выделяют сплошной линией, а невидимую – пунктирной.

Название поверхности (кроме конуса) определяют две кривые с одинаковым названием, полученные при сечении поверхности координатными плоскостями ( , , ): два эллипса – эллипсоид, две гиперболы – гиперболоид, две параболы – параболоид. Кривая в третьем сечении дополняет название (гипербола – гиперболический, эллипс – эллиптический, окружность – круговой, или поверхность вращения).

Далее студенты вместе с преподавателем выполняют задание на исследование поверхностей, определенных заданными уравнениями и составляют опорный конспект. Приведем пример.

Таблица 1.1

Каноническое уравнение	Название
Случай трех переменных
	эллипсоид
	однополостный гиперболоид
	двуполостный гиперболоид
	конус
	эллиптический параболоид
	гиперболический параболоид
Случаи вырождения
	мнимый конус
	мнимый эллипсоид
Цилиндры
	эллиптический цилиндр
	гиперболический цилиндр
	параболический цилиндр
Случаи вырождения
	мнимый эллиптический цилиндр
	пара пересекающихся плоскостей
	пара мнимых пересекающихся плоскостей
	пара параллельных плоскостей
	пара мнимых параллельных плоскостей
	пара совпадающих плоскостей

Задание. Методом параллельных сечений исследовать поверхность, определяемую уравнением:

.

Построить сечения поверхности плоскостями: , , , , .

На рис. 1.5. представлено несколько слайдов презентации на тему «Построение поверхностей второго порядка методом сечений» с чертежами, выполненными в пакете Mathematica. Материал размещен в разделе «Методические разработки» образовательного математического сайта Exponenta.ru (http://www.exponenta.ru/educat/systemat/tokarevskaja/index.asp).

Таблица 1.2 представляет собой один из возможных вариантов опорного конспекта.

После его составления студентам можно задать вопрос: Какие поверхности определяют уравнения: , ?

Опорный конспект является эффективным элементом видеоряда лекции-презентации.

По мере изложения материала преподаватель формирует опорный конспект с помощью средств анимации программы MS Power Point.

При составлении опорных конспектов преподаватель акцентирует внимание на особенно важных или сложных моментах, инициируя их запись студентами в дополнение к опорному конспекту.

Наиболее распространенными являются следующие формы использования опорного конспекта: а) на лекции идет подробное изложение учебного материала, а затем краткое обобщение с помощью опорного конспекта, который предъявляется студентам на слайдах с помощью мультимедиа проектора; б) параллельно с подробным изложением на лекции учебного материала на слайдах выделяются основные формулы, понятия; студентам можно дать задание оформить опорный конспект дома; в) удобно пользоваться опорным конспектом на практических занятиях.

При проведении лекции с использованием опорных конспектов студенты являются прежде всего активными слушателями. Их основная цель – вникать в новые понятия, связывать их с уже известными, следить за ходом рассуждений, доказательствами, пояснениями на примерах, не отвлекаясь на подробные записи и не теряя канвы лекции.

Далее предъявляется слайд, представленный на рис. 1.6. Переход по ссылке позволяет запустить анимацию, позволяющую представить поверхность как результат движения прямой.

Рис. 1.5

Таблица 1.2
Однополостный гиперболоид
Уравнения плоскостей сечения и кривых в сечении				Симметрия			Замечания
			Центр		Плоскости
. Гипербола:	. Гипербола:	. Эллипс:	Точка		, ,	Гиперболоид вращения при
23 . Гипербола:	. Гипербола:	. Эллипс:
. Две прямые:	. Две прямые:
. Гипербола:	. Гипербола:

В уравнениях возможны другие сочетания знаков и переменных. При этом меняется положение поверхности относительно координатных осей.

Однополостный гиперболоид вращения – линейчатая поверхность Линейчатой называется поверхность, образованная движением прямой. http://cs6.pikabu.ru/post_img/2014/08/23/11/1408816705_1114585411.gif

Рис. 1.6

Поверхности второго порядка часто используются в архитектурных конструкциях.

«Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора» (Ле Корбюзье)
Радиобашня Шухова (2008 год)	Аджигольский маяк (1911 год)	Телебашня Гуанчжоу (2011 год)

Рис. 1.7

Тот факт, что поверхность однополостного гиперболоида состоит из прямых линий, использовал В.Г. Шухов (1853–1939) при строительстве мачт, башен и опор, составленных из металлических балок, располагающихся по прямолинейным образующим однополостного гиперболоида вращения, в частности, и телевизионной башни на Шаболовке (построена в 1922 году).

Высокая прочность таких конструкций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью изготовления и изяществом обеспечивает широкое распространение их в современном строительстве (рис. 1.7).

Далее студентам может быть предложено привести примеры использования поверхностей 2-го порядка в архитектуре г. Воронежа.

В заключение лекции можно рассмотреть построение поверхности в среде MathCAD (см. рис. 1.8). При этом имеется возможность, запустив программу, «покрутить поверхность», чтобы рассмотреть ее с разных сторон, поменять числовые параметры уравнения, чтобы оценить их влияние и т.п.

Построение однополостного гиперболоида средствами MathCAD

Рис. 1.8

При наличии времени можно показать на лекции учебный фильм: «Образование поверхностей перемещением кривых» – учебный фильм по геометрии (Центрнаучфильм), в котором рассказывается о том, как можно получить ту или иную поверхность, перемещая в пространстве простейшие линии, или рекомендовать студентам просмотреть его самостоятельно (http://www.youtube.com/watch?v=aG0j1skQOrA&index=5&list=PLk91qesJngSI5tbBqiy3QCgkSsg_pArVC).