- •Введение
- •1. Лекции
- •1.1. Проблемная лекция
- •1. Тема «Кривые второго порядка»
- •2. Тема «Свойства функций, непрерывных на отрезке»
- •3. Тема «Обыкновенные дифференциальные уравнения»
- •1.2 Лекция-визуализация
- •1.3. Лекция-конференция
- •1.4. Лекция-беседа
- •2. Практические занятия
- •2.1. Лабораторные работы
- •2.2. Элементы компьютерных симуляций
- •2.3. Дидактические игры
- •2.4. Решение сюжетных и профессионально-ориентированных задач
- •2.5. Составление опорных конспектов
- •Основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Исследование знакопеременного ряда на сходимость
- •3. Самостоятельная работа студентов
- •На сайте http://www.Mathtest.Ru (тесты по математике online) можно за 15 минут или быстрее проверить свой уровень знаний по математике за любой раздел первого курса.
- •3.1. Использование рабочих тетрадей
- •Фрагмент рабочей тетради по теме «Кратные интегралы»
- •Задачи для самостоятельного решения:
- •Фрагменты рабочей тетради по теме «Степенные ряды»
- •3.2. Работа над учебными проектами
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач»
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов
- •6) Игровые проекты
- •3.3. Обучающее тестирование
- •Литература
- •Оглавление
- •4) Проект «Сборник профессиональных задач» 134
- •5) Проекты, связанные с опредмечиванием математических объектов 137
- •6) Игровые проекты 138
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
4) Проект «Сборник профессиональных задач»
Студенты изучают приложения математики в области их будущей профессиональной деятельности, например, в социально-экономической сфере.
Так, к необходимости использования второго замечательного предела приводит задача о непрерывном начислении процентов.
Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100% годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден. ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия мы получим 150 ден. ед., а еще через полгода – 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года мы получим (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится: (ден. ед.).;
(ден. ед.); (ден. ед.).
При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому числу, равному приблизительно 272. Более чем в 2,72 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу ежесекундно, потому что число е = 2,71828… и .
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал, месяц и т. д.). Время – дискретная переменная. В некоторых случаях – в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, – возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:
.
Здесь P – первоначальная сумма; i – ставка процентов (в виде десятичной дроби); S – сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.
Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S – P называют дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной величиной S. Имеем:
, следовательно, .
Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.
В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется, прежде всего, тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных.
Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году: .
Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m – число периодов начисления в году; i – годовая или номинальная ставка. Чем больше т, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при имеем:
.
При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того чтобы отличить ставку непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, ее обозначают через . Тогда . Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при . Множитель наращения рассчитывается с помощью компьютера или по таблицам функции.
Затем они составляют и решают задачи по изученному материалу. Возможные варианты таких задач приводятся далее.
Пример 1. Начальная сумма вклада составляет 30000 руб., а ставка начисления за год 5%. Найти:
а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года;
б) проценты за третий год;
в) накопленную сумму за 6 лет;
г) проценты за последние 3 года.
Решение
а) Накопленная сумма, согласно формуле сложных процентов , равна (руб.), а проценты за тот же период представляют разность 34729 – 30000 = 4729 (руб.).
б) Проценты за третий год определяем по формуле:
(руб.).
в) Накопленная сумма за 6 лет будет равна:
(руб.).
г) Наконец, найдем проценты за последние 3 года:
(руб.).
Пример 2. Первоначальный вклад, положенный в банк под 4% годовых, составил 70000 руб. Найти размер вклада через 4 года и 3 месяца при начислении процентов:
а) поквартальном; б) помесячном; в) непрерывном.
Решение.
а) Используем формулу для начисления процентов m раз в году:
.
В нашем случае P = 70000; i = 0,04; п = 4,25; т = 4. Имеем:
.
б) Если проценты начисляются каждый месяц, то т = 12, и конечная сумма будет равна: .
в) Используем формулу для непрерывного начисления процентов: .
Пример 3. Вклад был положен в банк на 3 года и в конце срока составлял 750 долларов. Каков был первоначальный капитал, если годовая процентная ставка составляла 5% и проценты начислялись непрерывно?
Решение. По формуле непрерывного начисления процентов имеем:
, откуда .
Здесь через обозначена величина первоначального вклада, через – величина вклада через n лет.
Пример 4. Вклад пролежал в банке 3 года и 6 месяцев и в конце срока составил 10000 руб. Первоначальный вклад был равен 8765 руб. Каков был размер номинальной процентной годовой ставки, если проценты начислялись непрерывно?