Ответы к тесту:

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	1	4	3	2	1	3	1	3	1	4

14. Модели в виде систем линейных одновременных уравнений и их идентификация

14.1. Основные понятия

Одной из причин коррелированности регрессоров со случайными членами могут служить факторы, действующие одновременно и на сами регрессоры, и на объясняемые переменные при фиксированных значениях регрессоров. Иными словами, в рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых переменных и регрессоров формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Это означает, что рассматриваемая модель не полна: ее следует дополнить уравнениями, в которых объясняемыми переменными выступали бы сами регрессоры. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать системы одновременных или регрессионных уравнений.

Классическим примером является одновременное формирование спроса Qd и предложения QS товара в зависимости от его цены Р:

(14.1)

Здесь I – доход.

Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенствах (14.1) следует положить Qd = QS = Q. В этом случае наблюдаемое значение Р – это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать Р и Q объясняемыми переменными, а величину дохода I – объясняющей переменной.

Записывая каждое уравнение, для простоты в отклонениях от средних значений, получаем следующую систему:

(предложение) (14.2)

(спрос) (14.3)

Разделение ролей между переменными в системе одновременных уравнений может быть, проинтерпретировано следующим образом: переменные Q и Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (1), т.е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Между тем переменная I считается в уравнениях (14.1) заданной, ее значения формируются в не модели. Такие переменные называются экзогенными.

С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, между тем как эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Естественно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными и приводит, очевидно, к коррелированности их со случайными членами.

Система (14.2), (14.3) называется структурной формой модели, соответственно коэффициенты этих уравнений называются структурными коэффициентами. Система (14.4), (14.5) называется приведенной формой модели.

(14.4)

(14.5)

Обозначая (14.6)

(14.7)

перепишем (14.4) и (14.5):

Здесь уже в каждом уравнении экзогенная переменная некоррелирована с ошибкой, поэтому метод наименьших квадратов даст состоятельные оценки и коэффициентов и .Такой способ оценивания структурных коэффициентов с помощью оценок коэффициентов приведенной формы называется косвенным методом наименьших квадратов (Indirect Least Sguares, ILS). Следовательно, для структурного коэффициента первого уровня можно построить самостоятельную оценку, используя косвенный метод наименьших квадратов.

Приведем общий вид системы одновременных уравнений. Пусть У₁,…. У_m – эндогенные переменные, X₁,....,Х_l – экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как

г де

Кроме, регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют, собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными. Например, для модели формирования спроса и предложения и цены равновесия имеем два поведенческих уравнения (1) и одно тождество Q_s= Q_d.

Тождества, вообще говоря, позволяют исключить некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности.

Сформулируем выводы и проблемы, с которыми сталкиваются, исследуя систему одновременных уравнений.

1) Переменные в системах одновременных уравнений делятся на экзогенные и эндогенные. Первые отличаются от вторых тем, что в каждом уравнении они некоррелированы с соответствующей ошибкой.

2) Из-за наличия корреляции между эндогенными переменными и ошибками непосредственное применение метода наименьших квадратов к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов.

3) Коэффициенты приведенной формы модели могут быть состоятельно оценены методом наименьших квадратов. Эти оценки могут быть использованы для оценивания структурных параметров (косвенный метод наименьших квадратов). При этом возможны три ситуации: структурный коэффициент однозначно выражается через коэффициенты приведенной системы, структурный коэффициент допускает несколько разных оценок косвенного метода наименьших квадратов, структурный коэффициент не может быть выражен через коэффициенты приведенной системы. В последнем случае соответствующее структурное уравнение является неидентифицируемым. Неидентифицируемость уравнения не связана с числом наблюдений.

4) Экзогенные переменные можно использовать в качестве инструментальных. В том случае, когда оценка косвенного метода единственна, она совпадает с оценкой, полученной с помощью инструментальных переменных.

Таким образом, оценивание систем одновременных уравнений требует специальных методов. В рассмотренных примерах уравнения были однозначно разрешимы относительно исходных параметров, что позволило найти их состоятельные оценки. Очевидно, что такая ситуация имеет место не всегда. Рассмотрим эту проблему более подробно. Форма (8) называется структурной формой системы уравнений. Структурный параметр называется идентифицируемым, если он может быть однозначно, оценен с помощью косвенного метода наименьших квадратов.

Уравнение идентифицируемо, если идентифицируемы все входящие в него структурные параметры.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если его значение невозможно получить, даже зная точные значения параметров приведенной формы. Наконец, параметр называется сверхидентифицируемым, если косвенный метод наименьших квадратов дает несколько различных его оценок.

Очевидно, что три коэффициента не могут быть найдены из двух уравнений. Это означает, что существует бесконечное множество их возможных значений, приводящих к одной и той же приведенной форме. Такие коэффициенты называются не идентифицируемым и, соответственно, неидентифицируемым называется уравнение, содержащее эти параметры.

Параметр, для которого существует несколько способов выражения через коэффициенты, называется сверхидентифицируемым. Таковым является параметр . Для сверхидентифицируемого параметра имеется несколько, вообще говоря, различных оценок.

Заметим, что проблема сверхидентифицируемости – это проблема количества наблюдений: с увеличением объема выборки все различные состоятельные оценки параметра стремятся к одному и тому же истинному значению. Между тем проблема неидентифицируемости – это проблема структуры модели. Неидентифицируемость не исчезает с ростом количества наблюдений и означает, что существует бесконечное число структурных моделей, имеющих одну и ту же приведенную форму.

Неидентифицируемость вовсе не является редким явлением. В самом деле, для идентифицируемости, грубо говоря, надо, чтобы количество оцениваемых структурных параметров было бы равно количеству оцененных параметров. Очевидно, однако, что в общем случае структурных параметров больше. Очевидно, неидентифицируемость модели означает, что косвенный метод наименьших квадратов неприменим.