11. Стационарные временные ряды и их идентификация

11.1. Основные понятия

Стационарный временной ряд – это стохастичекий временной ряд, математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция которого являются постоянными во времени. К линейным моделям стационарных временных рядов относятся:

1. модель авторегрессии;

2. модели скользящего среднего;

3. смешанные модели авторегрессии скользящего среднего.

В основе модели авторегрессии лежит утверждение о том, что большинство временных рядов содержит уровни, последовательно зависящие друг от друга. Поэтому в модели авторегрессии каждый уровень равен сумме случайной компоненты и линейной комбинации предыдущих р-уровней. Авторегрессионная модель порядка р обозначается, как АР(р) или АR(р).

.

φ_n – неизвестные коэффициенты модели авторегрессии;

ε_{t –} Белый шум(случайная величина с нулевым математическим ожиданием);

– модель авторегрессии первого порядка.

Модель авторегрессии 1-го порядка (AR(1)). Данная модель представляет собой простейший вариант авторегрессионного процесса типа, когда все коэффициенты кроме первого равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

(11.1)

 где –  некоторый числовой коэффициент, не превосходящий по абсолютной величине единицу (| | 1), а последовательность случайных величин, образующая белый шум. При этом зависит от и всех предшествующих , но не зависит от будущих значений . Соответственно, в уравнении не зависит от и более ранних значений . В связи с этим, называют инновацией (обновлением).

Последовательности , удовлетворяющие соотношению (11.1), часто называют также марковскими процессами. Это означает, что E (11.2)

r( , ) = ^k (11.3)

(11.4)

cov( , )=  ^kD (11.5)

Одно важное следствие (11.5) состоит в том, что если величина | | близка к единице, то дисперсия будет намного больше дисперсии . А это значит, что если соседние значения ряда сильно коррелированы, то ряд довольно слабых возмущений будет порождать размашистые колебания остатков . Основные характеристики процесса авторегрессии 1-го порядка следующие. Условие стационарности ряда (1) определяется требованием к коэффициенту :

| | 1,

или, что то же, корень z₀ уравнения 1– z = 0 должен быть по абсолютной величине больше единицы. Автокорреляционная функция марковского процесса определяется соотношением (11.3):

r( ) = r( , )= . (11.6)

Отсюда же, в частности, следует простая вероятностная интерпретация параметра :

= r( , ),

т.е. значение определяет величину корреляции между двумя соседними членами ряда _t.

Из (11.6) видно, что степень тесноты корреляционной связи между членами последовательности (11.1) экспоненциально убывает по мере их взаимного удаления друг от друга во времени.

Частная автокорреляционная функция r_част( ) = r( , | = =…= = 0) может быть подсчитана с помощью формул. Непосредственное вычисление по этим формулам дает следующий простой результат: значения частной корреляционной функции r_част( ) равны нулю для всех = 2, 3,…. Это свойство может быть использовано при подборе модели: если вычисленные выборочные частные корреляции  статистически незначимо отличаются от нуля при = 2, 3,…, то использование модели авторегрессии 1-го порядка для описания поведения случайных остатков временного ряда не противоречит исходным статистическим данным.

Спектральная плотность марковского процесса может быть подсчитана с учетом известного вида автокорреляционной функции (11.6):

 .

В случае значения параметра близкого (к -1), соседние значения ряда близки друг к другу по величине, автокорреляционная функция экспоненциально убывает оставаясь положительной, а в спектре преобладают низкие частоты, что означает достаточно большое среднее расстояние между пиками ряда . При значении параметра близком (к –1), ряд быстро осциллирует (в спектре преобладают высокие частоты), а график автокорреляционной функции экспоненциально спадает до нуля с попеременным изменением знака.

Идентификация модели, т.е. статистическое оценивание ее параметров и  по имеющейся реализации временного ряда x_t (а не его остатков, которые являются ненаблюдаемыми), основана на соотношениях (2)(5) и может быть осуществлена с помощью метода моментов. Для этого следует предварительно решить задачу выделения неслучайной составляющей , что позволит оперировать в дальнейшем остатками

(11.7)

Затем подсчитывается выборочная дисперсия  остатков по формуле .

Оценку  параметра получаем с помощью формулы (11.4), подставляя в нее вместо коэффициента корреляции его выборочное значение, т.е.

.

Наконец, оценка  параметра  основана на соотношении (11.5), в котором величины D и заменяются оценками, соответственно,  и .

Модели авторегрессии 2-го порядка (AR(2)). Авторегрессия 2-го порядка – двухсвязный процесс. Эта модель, как и AR(1), представляет собой частный случай авторегрессионного процесса, когда все коэффициенты _j кроме первых двух, равны нулю. Соответственно, она может быть определена выражением

= ₁ + ₂ + _t, (11.8)

Коэффициенты   называются коэффициентами регрессии.

Условия стационарности ряда (необходимые и достаточные) определяются как:

В рамках общей теории моделей те же самые условия стационарности получаются из требования, чтобы все корни соответствующего характеристического уравнения лежали бы вне единичного круга. Характеристическое уравнение для модели авторегрессии 2-го порядка имеет вид:

Автокорреляционная функция процесса Юла подсчитывается следующим образом. Два первых значения r(1) и r(2) определены соотношениями

, ,

а значения для r( ), = 3, 4,… вычисляются с помощью рекуррентного соотношения

r( ) = ₁r( – 1) + ₂r( – 2).

Частная автокорреляционная функция временного ряда, сгенерированного моделью авторегрессии 2-го порядка, обладает следующим отличительным свойством:

r_част( ) = 0 при всех = 3, 4,…

Спектральная плотность  процесса Юла может быть вычислена с помощью формулы:

Идентификация модели авторегрессии 2-го порядка основана на соотношениях, связывающих между собой неизвестные параметры модели ₁, ₂ и  со значениями различных моментов «наблюдаемого» временного ряда _t.

По значениям  вычисляются дисперсии D _t и автокорреляций r(1) и r(2). Это делается с помощью соотношений:

.

Наконец, оценку параметра  получаем с помощью

.

Под идентификацией моделей обычно понимают выявление их структуры и оценивание параметров. Поскольку структура – это тоже параметр, хотя и нечисловой , то речь идет об одной из типовых задач эконометрики – оценивании параметров.

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, рассмотренных в главе 5 моделей линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными.