- •1.2. Типы моделей
- •1.3. Типы данных
- •1.4. История
- •1.5. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •2. Парная регрессия и корреляция. Свойства коэффициентов регрессии и проверка гипотез
- •2.1. Задачи корреляционно-регрессивного анализа
- •Содержательный характер задач корреляционно-регрессивного метода
- •2.2. Вычисление и интерпретация параметров парной линейной корреляции
- •2.3. Статистическая оценка надёжности параметров парной корреляции
- •2.4. Применение парного линейного уравнения регрессии
- •Коэффициент корреляции рангов
- •2.5. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •3. Множественная регрессия
- •3.1. Формулы для коэффициентов и стандартных ошибок
- •3.2. Множественная регрессия и оценка параметров Кобба-Дугласа
- •3.3. Мультиколлинеарность
- •3.4. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •4. Выбор уравнения
- •4.1. Влияние отсутствия необходимой переменной
- •4.2. Лишняя переменная
- •4.3. Замещающие переменные
- •4.4. Лаговые переменные
- •4.5. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •5. Фиктивные переменные
- •5.1. Фиктивные и нефиктивные переменные в регрессии
- •5.2. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •6. Гетероскедастичность
- •6.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена (кркс)
- •6.2. Тест Голдфелда-Куандта
- •6.3. Тест Глейзера
- •6.4. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •7. Автокорреляция
- •7.1. Поправка Прайса–Уинстена
- •7.2. Процедура Кохрана–Оркатта
- •7.3. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •8. Модели временных рядов
- •8.1. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту
- •Ответы к тесту:
- •9. Автоковариационная и автокорреляционная функции, их свойства. Коррелограмма
- •9.1. Спектральная плотность
- •9.2. Спектральный (Фурье) анализ
- •9.3. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •10. Неслучайная составляющая временного ряда
- •10.1. Проверка гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда
- •10.2. Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна [Brown (1963)])
- •10.3. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •11. Стационарные временные ряды и их идентификация
- •11.1. Основные понятия
- •11.2 Модели скользящего среднего сс(1) и сс(2). Двойственность. Обратимость. Идентификация
- •11.3. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •12. Лаговые переменные. Нестационарные временные ряды и их идентификация
- •12.1. Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (arima(p, k, q)-модель)
- •12.2. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту
- •12.3. Полиномиальная лаговая структура Ширли Алмон
- •12.4. Геометрическая лаговая структура Койка
- •12.5. Модель частичного приспособления
- •12.6. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •13. Предсказания
- •13.1 Основные понятия
- •13.2. Доверительные интервалы и интервалы предсказания
- •13.3. Критерий г. Чоу
- •13.4. Коэффициент Тейла
- •13.5. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •14. Модели в виде систем линейных одновременных уравнений и их идентификация
- •14.1. Основные понятия
- •14.2. Тестовые задания для самостоятельной работы
- •Ответы к тесту:
- •14.3. Использование эконометрической модели при исследовании зависимости затрат от объёма производства и структуры продукции на примере конкретного предприятия
- •Расчетное задание 1 «Построение уравнений парной регрессии и оценка их значимости»
- •Варианты лабораторных задач Задание
- •Расчетное задание 2. «Построение уравнений линейной множественной регрессии и оценка его значимости» Задача
- •Варианты лабораторных задач
- •Глоссарий
- •Библиографисеский список
- •Оглавление
- •1.1.Модели 3
- •10.1. Проверка гипотезы о неизменности среднего значения временного ряда 88
- •Эконометрика Учебное пособие
12.3. Полиномиальная лаговая структура Ширли Алмон
Подход основан на полиномиальной форме параметризации конечной лаговой структуры 0, 1,..., T. А именно, опираясь на теорему Вейер-штрасса (которая утверждает, что непрерывная на замкнутом интервале функция может быть приближена на всем отрезке многочленом подходящей степени от ее аргумента, отличающимся от этой функции в любой точке меньше, чем на любое заданное число) и рассматривая весовые коэффициенты k как функции k, автор предложила выразить их в виде полиномов невысокой степени m (m ≤ 3) от k, т. е.
k = 0 + 1k + 2k2 + ... + mkm, k = 0,1,2,... ,Т, (12.3)
где 0, 1,..., m – некоторые неизвестные параметры, которые определяются из условия наиболее точной (в определенном смысле) подгонке модели (12.2).
Подставлял последовательно в (4) k= 0,1,2,..., T, получаем:
Возвращаемся к анализируемой модели (12.2) заменяя в ней коэффициенты их выражениями по формулам (12.3) суть метода Алмон:
y(t) = c0 + x(t-k) + (t) = c0
+ 0x(t)
+ 0x(t-1) + 1x(t-1) + …+ mx(t-1)
+ 0x(t-2) + 2 1x(t-2) + …+2m mx(t-1)
…………………………………………………..
+ 0x(t-T) + T 1x(tT) + …+2m mx(t-T) + (t) (12. 4)
Суммируя со и остальные слагаемые правой части (12.4) по столбцам, получаем:
y(t) = c0 + 0[x(t)+ x(t-1)+ … + x(t-T)]
+ 1[x(t-1)+ 2x(t-2)+ … + Tx(t-T)]
…………………………………………
+ m[x(t-1)+ 2mx(t-2)+ … + Tmx(t-T)]
+ (t) (12.5)
Обозначая первую квадратную скобку в правой части (12.5) как вторую – как ,..., m-ю – как , где «новое» время t' «привязано» к моменту времени (t – Т) (т. e. t' = t – Т), получаем:
y(t’+T) = c0 + 0x(1)(t’) + 1x(2)(t’) + …+ mx(m)(t’) + (t+T) (12.5')
В результате мы свели задачу оценивания (T + 2) неизвестных весовых коэффициентов со, 0, 1,…, T к статистическому анализу стандартной линейной модели множественной регрессии всего с т + 1 (m ≤ 3) неизвестными параметрами (при этом предполагается, конечно, что длина исходных временных рядов N много больше, чем Т + т). Так что оценки со и j– параметров со и j (j = 1,2,…,m) получаются с помощью обычного МНК, после чего по формулам (12.5') вычисляются оценки k (k = 0,1,..., Т).
Заметим, что мы полагали в данной схеме максимальную величину лага Т известной. В действительности она, как правило, определяется статистически. Обычно проводят описанные выше расчеты для нескольких предположительных значений Т и окончательный выбор между ними производят на основании диагностики полученных моделей, т. е. – путем сравнения различных характеристик их точности.
Преимущества метода Алмон. Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов.
При относительно небольшом числе переменных в модели не приводящем к значительной потере числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины (максимальный лаг L может быть достаточно большим).
12.4. Геометрическая лаговая структура Койка
В данном подходе рассматривается бесконечном лаговая структура (т.е. полагается Т → ∞), поэтому он применим лишь к достаточно длинным временным рядам (12.1). Общим (и естественным!) допущением при анализе бесконечных лаговых структур является требование сходимости ряда. Это означает, что влияние x{t) на y(t + к) уменьшается до нуля по мере неограниченного увеличения временного интервала k, что естественно, т.к. текущее значение y практически не должно зависеть от поведения х в бесконечно далеком прошлом. Койк в своем подходе конкретизировал и усилил это допущение. В частности, он постулировал, что все нормированные веса , являясь положительными, убывают с ростом k по геометрической прогрессии, т. е.
wk = (1– ) k , где 0 1 (12.6)
(множитель (1 – ) в соотношении (12.6) нужен для того, чтобы обеспечить условие нормировки wk = 1).
Как видно, это допущение приводит к огромным упрощениям модели (12.2), т.к. вместо оценивания бесконечного ряда весовых коэффициентов 0, 1, 2 ,… придется оценить лишь два параметра: и = k.
Возвращаясь к (12.2), имеем:
y(t) = c0 + kx(t-k)+ (t) =с.0+ (1– ) k x(t-k)+ (t)= c0+ (1– )( k F_ k) x(t)+ (t) (12.7)
где F_, оператор сдвига назад на единицу, т.е. F-x(t) = x(t – 1). Произведя формальные операции с операторами сдвига, получаем
(1- F_)y(t)=(1- F_)c0+ (1- )x(t)+(1- F_) (t), (12.8)
Финальный вид (12.8') модели Койка может быть получен и без помощи операций с оператором сдвига F_. Для этого выпишем исходный вид модели для двух текущих моментов времени t и (t-1):
y(t) = c0 + (1 - ) k x(t-k) + (t) (12.9)
y(t-1) = c0+ (1 - ) kx(t-1-k) + (t-1).
Умножив второе уравнение на и вычтя полученный результат из первого уравнения, приходим к (12.8).