11.3. Тестовые задания для самостоятельной работы

1. Какой процесс отражает модель авторегрессии 1-го порядка AP (1):

1) марковский процесс;

2) ленинский процесс;

3) процесс обратимости;

4) процесс перехода количественных изменений в качественные.

2. Процесс выявления структуры модели и оценивания ее параметров называется:

1) анализ;

2) обратимость;

3) идентификация;

4) прогноз.

3. Сколько типов параметров включает в себя общая модель, предложенная Боксом и Дженкинсом:

1) один;

2) два;

3) три;

4) пять.

4. Если в модели имеется только один параметр, то для обеспечения условия стационарности модели этот параметр находится в интервале:

1) (-1; 1);

2) (0; 2);

3) (0; 1];

4) [-2; 2].

5. Авторегрессия 2-го порядка это:

1) несвязный процесс;

2) односвязный процесс;

3) двухсвязный процесс;

4) трехсвязный процесс.

6. Экономность модели означает:

1. наибольшее число параметров и наибольшее число степеней свободы;

2. наименьшее число параметров и наименьшее число степеней свободы;

3. наименьшее число параметров и наибольшее число степеней свободы;

4. наибольшее число параметров и наименьшее число степеней свободы.

7. На каком этапе используются полученные оценки параметров:

1) на начальном;

2) на последнем;

3) не используется;

4) на любом.

8. Какая модель обозначается этой формулой:

x_t = µ + – – - –

1) авторегрессионная модель;

2) скользящего среднего;

3) идентификации;

4) смешенная модель авторегрессии.

9. Как называется явление при котором уравнение скользящего среднего можно переписать в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот:

1) обратимость;

2) двойственность;

3) интерация;

4) идентификация.

10. Чтобы ряд был стационарным необходимо наличие следующих условий:

1) среднее ряда постоянно, а выборочные дисперсии и автокорреляции не меняются во времени;

2) среднее ряда переменно, а выборочные дисперсии и автокорреляции не меняются во времени;

3) среднее ряда переменно, а выборочные дисперсии и автокорреляции изменяются во времени;

4) среднее ряда постоянно, а выборочные дисперсии и автокорреляции изменяются во времени.

Ответы к тесту:

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	1	3	3	1	3	3	2	2	1	1

12. Лаговые переменные. Нестационарные временные ряды и их идентификация

12.1. Модель авторегрессии-проинтегрированного скользящего среднего (arima(p, k, q)-модель)

Эта модель предложена Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [Бокс, Дженкинс (1974)]. Она предназначена для описания нестационарных временных рядов xt, обладающих следующими свойствами:

1. Анализируемый временной ряд аддитивно включает в себя составляющую f(t), имеющую вид алгебраического полинома (от параметра времени t) некоторой степени k 1; при этом коэффициенты этого полинома могут быть как стохастической, так и нестохастической природы;

2. Ряд получившийся из x_t после применения к нему k-кратной процедуры метода последовательных разностей, может быть описан моделью ARMA(p, q).

Это означает, что ARIMA(p, k, p)-модель анализируемого процесса x_t, может быть записана в виде

где

Заметим, что классу моделей ARIMA принадлежит и простейшая модель стохастического тренда – процесс случайного блуждания (или просто случайное блуждание). Случайное блуждание определяется аналогично процессу авторегрессии первого порядка , но только у случайного блуждания a = 1, так что

e_t = e_t-1 + d_t.

Ряд первых разностей случайного блуждания d_t представляет собой белый шум, т.е. процесс ARMA(0, 0). Поэтому само случайное блуждание входит в класс моделей ARIMA как модель ARIMA(0, 1, 0).

Идентификация ARIMA-моделей. В первую очередь, следует подобрать порядок k модели. Первый тип критерия подбора основан на отслеживании поведения величины в зависимости от k: в качестве верхней оценки для порядка k определяется то значение k₀, начиная с которого тенденция к убыванию гасится и само значение относительно стабилизируется. Второй тип критерия подбора порядка k ARIMA-модели основан на анализе поведения автокорреляционных функций процессов Dx_t, D²x_t,…. Последовательные преобразования анализируемого процесса x_t с помощью операторов D, D²,… нацелены на устранение его нестационарности. Поэтому до тех пор, пока l k процессы D^lx_t будут оставаться нестационарными, что будет выражаться в отсутствии быстрого спада в поведении их выборочной автокорреляционной функции. Поэтому предполагается, что необходимая для получения стационарности степень k разности D достигнута, если автокорреляционная функция ряда быстро затухает.

После подбора порядка k анализируется уже не сам ряд x_t, а его k-е разности. Идентификация этого ряда сводится к идентификации ARMA(p, q)моделей.

Коинтеграция временных рядов в регрессионном анализе. В регрессионном анализе одновременно рассматривается несколько временных рядов. Если x_t – интегрированный временной ряд порядка k₁, приводящийся к стационарному ряду переходом к разностям порядка k_1, а y_t – интегрированный временной ряд порядка k₂ k₁, остационариваемый переходом к разностям порядка k₂, то при любом значении параметра q случайный остаток e_t = y_t – qx_t будет интегрированным временным рядом порядка k₂. Если же k₁ = k₂ = k, то константа q иногда может быть подобрана так, что e_t будет стационарным (интегрированным порядка 0) с нулевым средним. При этом говорят, что ряды x_t и y_t коинтегрированы, а вектор (1, -q) называется коинтегрирующим. При регрессионном анализе интегрированных рядов x_t и y_t отсутствие коинтегрированности этих рядов приводит к фиктивной (паразитной) регрессии.

Проверка на коинтегрированность пары интегрированных рядов первого порядка может производиться, например, по следующей схеме: 1) рассматривается модель y_t = qx_t + e_t и строится оценка параметра q; 2) ряд анализируется на стационарность в рамках одной из моделей ARMA(p, q); например, в рамках AR(1)-модели проверяется гипотеза |a| 1 в представлении .

Подробнее с проблемой коинтеграции временных рядов можно познакомиться, например, в [Greene (1997)]. Исчерпывающий обзор литературы по этой проблеме приведен в книге [Maddala, Kim (1998)].