6.1. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена (кркс)
Иногда нужно установить связь не только между двумя количественными переменными, но между ординальными (порядковыми) переменными – качество жилья, оценки экзамена. Тогда объекты анализа ранжируют по степени выраженности измеряемых переменных. Каждому объекту присваивается № (ранг). Например, объекту с наименьшим проявлением признака – ранг 1, следующему – ранг 2. Если объекты ранжированы по двум признакам, то можно оценить тесноту связи, основываясь на рангах (тесноту ранговой корреляции).
КРКС находится по формуле
где ri, si – ранги i-го объекта по переменным Х и У;
n – число пар наблюдений.
Если ранги всех объектов равны (ri=si, i=1,2,…,n), то p=1. Т.е. при полной прямой связи p=1. При полной обратной связи, когда ранги объектов по двум переменным расположены в обратном порядке, можно показать, что p=-1. Во всех остальных случаях |p|1.
При ранжировании иногда невозможно найти существенные различия между объектами по величине проявления рассматриваемого признака: объекты оказываются связанными. Им приписывают одинаковые средние ранги так, чтобы сумма всех рангов оставалась такой же, как при отсутствии связанных рангов. Например, если 4 объекта оказались равнозначными в отношении рассматриваемого признака и невозможно определить, какие из 4х рангов (4,5,6,7) приписать этим объектам, то каждому приписывается средний ранг, равный (4+5+6+7)/4=5,5. В модификациях формула на связанные ранги вводятся поправки. При проверке значимости p исходят из того, что в случае справедливости нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи между переменными при n10 статистика имеет t-распределение Стьюдента с (n-2) степенями своды. Поэтому p значим на уровне а при числе степеней свободы (n-2)
Ранговый коэффициент корреляции p может быть использован и для оценки тесноты связи между обычными количественными переменными. Достоинство p здесь – его нахождение не требует нормального распределения переменных, линейной связи между ними. Но нужно учитывать, что при переходе от первоначальных значений переменных к их рангам происходит определенная потеря информации. Чем теснее связь, тем чем меньше корреляционная зависимость между переменными отличается от линейной, тем ближе КРКС p к коэффициенту парной корреляции r.
6.2. Тест Голдфелда-Куандта
Этот тест применяется, как правило, когда есть предположение о прямой зависимости дисперсии ошибки от величины некоторой независимой переменной. Кратко тест можно описать следующим образом:
1) упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность;
2) исключить d средних (в этом упорядочении) наблюдений ( d должно быть примерно равно четверти общего количества наблюдений);
3) провести две независимые регрессии первых (n/2-d/2) наблюдений и последних (n/2-d/2) наблюдений и построить соответствующие остатки и ;
4) составить статистику F=.
Большая величина этой статистики означает, что гипотезу Н0 следует отвергнуть. Количество исключаемых наблюдений не должно быть ни слишком мало, ни слишком велико. Формально тест работает и без исключения наблюдений, но, как показывает опыт, при этом его мощность уменьшается, аналогично этот тест используется, если есть предположение о межгрупповой гетероскедастичности, когда дисперсия ошибки принимает, например, только два возможных значения.