8.1. Модели рядов, содержащих сезонную компоненту

Временными рядами, содержащими сезонную компоненту, называют процессы, при формировании которых обязательно присутствуют сезонные (или циклические) факторы.

Построение временного ряда – средство для прогнозирования. Прогнозирование обычно производят путем разложения ряда на долговременную, сезонную, циклические компоненты и случайные составляющие. Затем долговременную составляющую моделируют полиномом, сезонную – рядом Фурье. Прогноз – экстраполяция этих значений в будущее. Однако этот подход в ряде случаев неэффективен. Тогда применяют модели сезонных рядов, описанных в специальной литературе по анализу временных рядов.

Наблюдений х₁, х₂,..., образующих случайную выборку. Во-первых, члены временного ряда не являются статистически независимыми, во-вторых, они не являются одинаково распределенными.

Следовательно, временной ряд (ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

1. факторы, формирующие тенденцию ряда;

2. факторы, формирующие циклические колебания ряда;

3. случайные факторы.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 8.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Рис. 8.1.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Рис. 8.2.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 8.3.

Рис. 8.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Таким образом, основные факторы, формирующие значения членов временного ряда, делятся на:

– (а) долговременные. Они формируют общую тенденцию изменений переменной x(t). Эта тенденция может быть описана

, ,

Ряд x(t) называется слабо стационарным (стационарным в широком смысле), если его среднее значение, дисперсия и ковариации не зависят от t, т.е. если выполняется соотношение M[x(t)]=a, D[x(t)]= = ² .

Для стационарных временных рядов можно также ввести понятие спектральной плотности. Однако в анализе экономических рядов динамики ее нахождение требует в качестве информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо нескольких траекторий анализируемого временного ряда. И то, и другое в практике экономического статистического анализа наблюдается весьма редко.

Знание автокорреляционных функций и оказывает существенную помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда.

Реальные временные ряды, встречающиеся в экономике, финансах, торговле, маркетинге, обычно являются нестационарными. Их нестационарность чаще всего проявляется в наличии зависящей от времени t неслучайной составляющей f(t). В этом случае говорят о нестационарности на уровне первых моментов, т.е. о нестационарных однородных рядах.

Временной ряд х(t) называют нестационарным однородным, если его случайный остаток l(t), получающийся вычитанием из ряда x(t) его неслучайной составляющей f(t), представляет собой стационарный в широком смысле временной ряд.

8.2. Тестовые задания для самостоятельной работы

1. Уровень временного ряда может содержать:

1) тенденцию, циклические, сезонные колебания, случайные колебания;

2) тенденцию и сезонные колебания;

3) любое сочетание тенденции, циклических, сезонных, случайных колебаний.

2. Автокорреляцией уравнений временного ряда называют:

1) автокорреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда;

2) значение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени;

3) значение перехода.

3. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, это свидетельствует о том, что:

1) исследуемый ряд содержит только тенденцию;

2) исследуемый ряд содержит циклические колебания;

3)ряд не содержит тенденции и циклических колебаний.

4. Кусочно-линейная модель регрессии применяется:

1) для моделирования тенденции временного ряда за небольшой промежуток времени;

2)для моделирования тенденции временного ряда, испытывающего влияние структурных изменений;

3) для моделирования тенденции временного ряда.

5. Коинтеграция временных рядов:

1) причинно – следственная зависимость в уровнях двух (или более) временных рядов;

2) корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда;

3) последовательность коэффициентов автокорреляции уровней временного ряда.

6. Аддитивная модель временного ряда имеет вид:

1) ;

2) ;

3) .

7. Имеются следующие данные о величине дохода на одного работника предприятия и суммы расходов этого предприятия:

Таблица 8.1

Показатель	1985	1986	1987	1988	1989	1990
Суммарные расходы предприятия	30	35	39	44	50	53
Доход на одного работника предприятия, % к 1985 г.	100	103	105	109	115	118

Какой вид будет иметь линейная модель спроса, если использовать первые разности уровней исходных динамических рядов при ее построении:

1)

2)

3)

8. По каким формулам могут быть оценены математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение по наблюдениям в строго стационарных рядах:

1)

2)

3)

9. По данным таблицы найти уравнение тренда для временного ряда y_t, полагая тренд линейным, и выбрать правильный вариант ответа:

Таблица 8.2

	213	171	291	309	317	362	351
	171	291	309	317	362	351	361

1) 2)

3)

10. На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приведены в таблице:

Таблица 8.3

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной Компоненты
Январь	-1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	-0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	-3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда имеет вид: где ( ).

Каково будет значение сезонной компоненты за декабрь:

1)

2)

3)