Ответы к тесту:

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер ответа	2	3	3	2	2	2	1	1	1	3

7. Автокорреляция

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. Естественно, что при создании модели разработчик не в состоянии учесть все факторы, влияющие на зависимую переменную. Воздействию этих неучтенных факторов подвергается случайный член e уравнения регрессии. Для того, чтобы выполнялось третье условие Гаусса-Маркова, т.е. cov(ε_i,ε_j)=0 при i≠j, необходимо, чтобы “скрытые” в ε факторы тоже были некоррелированные со своими значениями в предыдущих наблюдениях.

Положительная автокорреляция подразумевает, что за положительным значением ошибки в момент времени t скорее всего последует положительное ошибки значение в момент времени (t+1), а за отрицательным значением – скорее всего последует отрицательное значение ошибки. При положительной автокорреляции линия, соединяющая точки наблюдений редко пересекает истинную линию регрессии. Так, пример с мороженным (рис.7.1) иллюстрирует как раз положительную автокорреляцию.

Рис.7.1. Положительная автокорреляция

Положительная автокорреляция наиболее часто встречается в экономических задачах.

Отрицательная автокорреляция означает, что за положительным значением ошибки скорее всего последует отрицательное, а за отрицательным значением ошибки вероятнее всего последует положительное значение. При отрицательной автокорреляции линия регрессии пересекается значительно чаще, чем при положительной (рис.7.2).

Рис.7.2. Отрицательная автокорреляция

В экономике отрицательная автокорреляция относительно редко. Однако иногда она появляется при преобразовании первоначальной спецификации модели в форму, подходящую для регрессионного анализа.

Теперь, при рассмотрении автокорреляции будем предполагать, что мы имеем дело с данными временных рядов. Поэтому номер наблюдения будем обозначать через t, а объем выборки через Т.

Для простоты и наглядности будем рассматривать модель с единственной объясняющей переменной.

(7.1.)

Ошибки ε коррелированы, а именно (7.2)

Такое соотношение ошибок называется автокорреляционным процессом первого порядка.

Некоторый параметр p будем называть коэффициентом автокорреляции или коэффициентом авторегрессии.

Случайная величина v_t нормально распределена с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией

Для полного описания модели необходимо определить ε₀. Будем считать, что ε₀ – нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией: , не зависящая от v_t, t=1…N. Выясним математический смысл некоторого параметра p.

Возьмем математическое ожидание от обеих частей уравнения (7.2).

Таким образом, получаем, что E(ε_t) = p·E(ε_t-1). Это верно только при E(ε_t) = 0, t=1…N.

Заметим, что ε_t-1 и v_t независимы, т.к. ε_t-1 выражается через v₁…v_t-1, поэтому

(7.3)

(7.4)

(7.5)

Таким образом последовательность ошибок модели {ε_t} образует стационарный случайный процесс, т. е. математическое ожидание, дисперсия и ковариации ε не зависят от момента времени t. Именно получением стационарности диктовался выбор параметров начальной величины ε₀.

Из формулы (7.4) следует математический смысл коэффициента автокорреляции. p есть коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками. Из этого следует, что .

Очевидно, что если коэффициент автокорреляции положительный, то в модели существует положительная автокорреляция, если отрицательный, то отрицательная. Если p=0, то третье условие Гаусса-Маркова выполнено, и в модели нет автокорреляции.

Мы не располагаем способами измерения случайного члена, поэтому не можем оценить регрессию непосредственно. Тем не менее, мы можем оценить p путем оценивания регрессионной зависимости остатков с использованием обычного МНК. При этом оценка p равна

(7.6)

Так как среднее значение N ошибок равно нулю, то и

Кроме того,

Таким образом, получим оценку коэффициента автокорреляции p

(7.7)

Широко известная статистика Дарбина-Уотсона имеет следующий вид:

Можно показать, что в больших выборках DW → 2-2p.

Следовательно, если автокорреляция отсутствует, то p=0, и значение DW должно быть близким к 2. При наличии положительной автокорреляции DW, вообще говоря, будет меньше 2; при отрицательной автокорреляции DW будет превышать 2. Так как значение p находится между –1 и 1, то значение DW должно лежать между 0 и 4.

Критическое значение DW при данном уровне значимости зависит от количества объясняющих переменных в уравнении регрессии и от количества наблюдений. К сожалению, оно зависит еще и от конкретных значений, принимаемых объясняющими переменными. Вы это сможете пронаблюдать, выполняя самостоятельную работу. Поэтому невозможно составить таблицу с точными критическими значениями для всех возможных выборок. Но можно вычислить верхнюю и нижнюю границы для критического значения DW. Для положительной автокорреляции границы критического значения обычно обозначаются du и dl соответственно.

Таблица 7.1

Величина статистики DW	Результат
4-d1DW4 4-duDW4-d1	В модели с некоторой вероятностью существует отрицательная автокорреляция первого порядка. Результат неопределенный.
2DW4-du	В модели с некоторой вероятностью нет автокорреляция первого порядка
duDW2	В модели с некоторой вероятностью нет автокорреляция первого порядка
d1DWdu	Результат неопределенный.
0DWd1	В модели с некоторой вероятностью существует положительная автокорреляция первого порядка

Под словами “с некоторой вероятностью” подразумевается уровень значимости, с которым применялся тест. Напомним, что уровень значимости-95%. Это означает, что, например, при попадании значения DW в зону от 0 до dl с вероятностью 95% в модели есть положительная автокорреляция первого порядка.