- •В. В. Дергач, а. К. Толстихин, и. Г. Борисенко , в.В.Корниенко начертательная геометрия
- •Введение
- •1.2. Свойства евклидова пространства и его реконструкция
- •2. Метод проекций
- •2.1. Центральное проецирование
- •2.2. Параллельное проецирование
- •2.2.1. Косоугольное проецирование
- •2.2.2. Ортогональное проецирование
- •2.2.3. Инвариантные свойства ортогонального проецирования
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •3. Точка
- •3.1. Система координат. Координатные плоскости проекций
- •3.2. Проекции точки и ее координаты
- •3.3. Комплексный чертеж точки. Эпюр Монжа
- •3.4. Конкурирующие точки и определение их видимости
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •4. Аксонометрические проекции
- •4.1. Основные положения и понятия
- •4.2. Прямоугольная изометрическая проекция
- •4.3. Прямоугольная диметрическая проекция
- •5. Линии Следующим геометрическим объектом является линия и изображение ее проекций. Далее по тексту показано многообразие типов линий и их различные положения относительно плоскостей проекций.
- •5.1. Общие определения
- •5.2. Изображение линий на комплексном чертеже. Прямая линия, отрезок
- •5.3. Линии (отрезки) общего положения
- •5.4. Определение натуральной величины и углов наклона к плоскостям проекций (правило прямоугольного треугольника)
- •5.5. Прямые частного положения
- •5.5.1. Прямые уровня
- •5.5.2. Проецирующие прямые
- •5.6. Взаимное расположение линии и точки
- •5.7. Взаимное положение прямых
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •6. Поверхности, плоскости
- •6.1. Общие сведения
- •6.2. Определение плоскости
- •6.3. Способы задания плоскости на комплексном чертеже
- •6.3.1. Плоскости общего положения
- •Задание: построить три проекции плоскости общего положения (a b).
- •6.3.2. Плоскости частного положения
- •Плоскости уровня. Плоскость, параллельная плоскости проекций, называется плоскостью уровня. Плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня, дает название последней.
- •6.4. Признак принадлежности точки и прямой плоскости
- •6.5. Признак параллельности прямой и плоскости
- •Пример 21 з адание: построить фронтальную проекцию отрезка вс, параллельного плоскости (а ´ b) (рис. 6.19). Определить видимость отрезка.
- •6.6. Пересечение прямой и плоскости
- •6 В .6.1. Частные случаи определения точки пересечения прямой и плоскости
- •6.6.2. Определение точки пересечения прямой с плоскостью способом вспомогательных геометрических объектов
- •6.7. Главные линии плоскости
- •6.7.1. Линии уровня
- •5.7.2. Линия наибольшего наклона к плоскости проекций
- •6.9. Взаимное расположение плоскостей
- •5.9.1. Признак совпадения плоскостей
- •6.9.2. Признак параллельности плоскостей
- •6.9.3. Пересечение плоскостей
- •6.9.4. Признак перпендикулярности двух плоскостей
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •7. Преобразование комплексного чертежа
- •7.1. Общие положения
- •7.2. Способ замены плоскостей проекций
- •7.3. Преобразование комплексного чертежа способом вращения вокруг проецирующей прямой
- •7.4. Преобразование комплексного чертежа способом плоскопараллельного перемещения
- •7.5. Преобразование комплексного чертежа способом вращения вокруг прямой уровня
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •8. Многогранники
- •8.1. Общие определения
- •8.2. Пересечение прямой и многогранника
- •8.3. Определение линии пересечения многогранника с проецирующей плоскостью
- •8.4. Определение точек пересечения прямой линии с многогранником
- •8.5. Определение линии пересечения многогранника с плоскостью общего положения
- •Решение задачи можно провести двумя способами: методом ребер и методом граней. Давайте рассмотрим два метода
- •8.5. Определение линии пересечения многогранников
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •9. Поверхности вращения
- •9.1. Поверхности вращения общего вида
- •9.2. Частные виды поверхностей вращения
- •9.3. Пересечение тел вращения с плоскостью частного положения
- •9.3.1. Пересечение цилиндра с плоскостью, не перпендикулярной его оси
- •9.3.2. Пересечение конуса плоскостью
- •9.4. Линии пересечения поверхности вращения плоскостью общего положения
- •9.5. Линия пересечения тела с вырезом или многогранником
- •8.6. Пересечение прямой линии с поверхностью вращения
- •Вопросы и задания для самопроверки
- •10.2. Определение линии пересечения при помощи сфер-посредников
- •10.2.1. Способ концентрических сфер
- •Пример 36
- •10.2.2. Способ эксцентрических сфер
- •10.3. Теорема Монжа
- •Вопросы для самопроверки
- •11. Развертки поверхностей
- •11.1. Основные понятия
- •11.2. Основные свойства развертки поверхностей
- •11.3. Развертка поверхности многогранников
- •11.3.1. Способ нормального сечения
- •11.3.2. Способ раскатки
- •11.3.3. Способ треугольников (триангуляции)
- •11.4. Построение приближенных разверток развертывающихся поверхностей
- •11.5. Условная развертка поверхностей
- •Заключение
- •Библиографический список
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 79
- •660041, Г. Красноярск, пр. Свободный, 82а
4.2. Прямоугольная изометрическая проекция
Углы между осями х, у и z равны между собой, линейные размеры предмета, параллельные этим осям, искажаются одинаково (рис. 4.2).
Рис. 4.2
При построении аксонометрии дробные показатели искажений усложняют расчет размеров, для его упрощения пользуются приведёнными показателям искажений: в изометрии все три показателя увеличивают в 1,22 раза (1:0,82l,22), получая 1 (рис. 4.2), так, длина всех ребер куба на изображении одинаковая (рис. 4.3), равная 0,82 действительной длины. Для упрощения построений (как сказано выше), отрезки, параллельные аксонометрическим осям, откладываются действительной длины, без искажения.
Рис. 4.3
Известно, что любая линия или поверхность – есть множество точек. Поэтому рассмотрение построения изометрической проекции рационально начать с построения точки.
Точка А задана своими проекциями А1, А2 и А3 (рис. 4.4) с координатами x, y, z.
Рис. 4.4
Построение изометрической проекции точки (рис. 4.5). Сначала строим оси, как показано на рис. 4.2. Откладываем от точки О (начала координат) последовательно отрезки на одной из осей и параллельные двум другим осям, равные величинам координат, мы всегда придем в точку А. Порядок построения координатной ломаной может быть любым из шести, представленных на рис. 4.5.
Коэффициент искажения в изометрии Кx0 = Кy 0 = Кz0 =1:0,82l,22, принимаем равным единице (Кx0 = Кy 0 = Кz0 =1), поэтому координаты точки А на каждом примере (рис. 4.5) откладываем равными координатам x, y, z (рис. 4.4)
Линии штриховки сечений наносят параллельно одной из диагоналей проекции квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям («спроецированная» штриховка, рис. 4.6)
Если основание тела ‑ правильный многоугольник (например, треугольник), то построенные прямоугольные изометрические проекции тела, ограниченного плоскостями, выполняют просто, а именно: построение вершин основания по координатам упрощается, провести одну из осей координат через центр основания (рис. 4.7).
Рис. 4.5
Рис. 4.6.
Рис. 4.7
Построив изометрию основания призмы, из вершин треугольника основания проводим прямые, параллельные соответственно осям х, у или z. На этих прямых от вершин основания отложим высоту призмы и получим изометрию вершин другого основания призмы. Соединив эти точки прямыми, получим изометрическую проекцию призмы.
а б
Рис. 4.8
Прямоугольная изометрическая проекция окружности. Если построить изометрическую проекцию куба, в грани которого вписаны окружности диаметра D (рис. 4.8, а), то квадратные грани куба будут изображаться в виде ромбов, а окружности в виде эллипсов (рис.4.8, б). Малая ось CD' каждого эллипса всегда должна быть перпендикулярна большой оси А 'В'.
Рис. 4.9
Если окружность расположена в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости, то большая ось А'В' должна быть горизонтальной, а малая ось С'D'-вертикальной (рис. 4.8, б). Если окружность расположена в плоскости, параллельной фронтальной плоскости, то большая ось эллипса должна быть проведена под углом 90° к оси у.
При расположении окружности в плоскости, параллельной профильной плоскости, большая ось эллипса располагается под углом 90° к оси х'.
Большие оси эллипсов всегда перпендикулярны соответствующим осям, а малые ‑ им параллельны.
При построении изометрической проекции окружности без сокращения по осям х', у' и z' длина большой оси эллипса берется равной 1,22 диаметра D изображаемой окружности, а длина малой оси эллипса ‑ 0,71D (рис. 4.9).
На рис. 4.10, 4.12 и 4.14 показаны поверхности вращения, выполненные в изометрии с овалами, расположенными параллельно горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.10), фронтальной плоскости проекций (рис. 4.12), профильной плоскости проекций (рис. 4.14).
В учебных чертежах для упрощения построения изометрических проекций окружности вместо эллипсов рекомендуется применять овалы, очерченные дугами окружностей. Упрощенный способ построения изометрических овалов приведен на рис. 4.11, 4.13, 4.15.
Рис.4.10
Для построения овала в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.11), проводим вертикальную и горизонтальную оси овала, оси x и y (рис. 4.2).
Из точки пересечения осей О проводим вспомогательную окружность диаметром D1, равным действительной величине диаметра изображаемой окружности, и находят точки п – точки пересечения этой окружности с аксонометрическими осями х и у. Из точек m пересечения вспомогательной окружности с осью z, как из центров радиусом R1 =пт, проводим две дуги ‑ nDn и пСп окружности, принадлежащие овалу.
Рис.4.11
Из центра О радиусом ОС, равным половине малой оси овала, находим на большой оси овала АВ точки О1 и О1′. Из этих точек радиусом R=O11 = O12 = О1′3 = О1′4 проводим две дуги. Точки 1, 2, 3 и 4 сопряжений дуг радиусов R и R1 находим, соединяя точки m с точками О1 и О1′ и продолжая прямые до пересечения с дугами пСп и nDn.
Рис.4.12
На рис. 4.13 показано упрощенное построение изометрической проекции окружности, расположенной в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций. Построение аналогично построению изометрического овала, расположенной в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, разница лишь в том, что большую ось овала АВ перпендикулярно малой оси CD – принадлежащей оси y.
Рис.4.13
Рис.4.14
На рис. 4.15 показано упрощенное построение изометрической проекции окружности, расположенной в плоскости, параллельной профильной плоскости проекций. Построение аналогично построению изометрического овала, расположенной в плоскости, параллельной профильной плоскости проекций, разница лишь в том, что большую ось овала АВ перпендикулярно малой оси CD – принадлежащей оси x.
Рис. 4.15
На рис. 4.16 приведен пример построения овалов на изометрии детали с расположением окружностей в плоскостях, параллельных горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостям проекций.
Построение аксонометрической проекции детали следует начинать с изображения на чертеже аксонометрических осей. Целесообразно за начало координат принимать центр симметрии, а за оси координат – оси симметрии детали.
При построении аксонометрии рекомендуется мысленно разделить деталь на простейшие геометрические тела (цилиндр, конус, призма, пирамида и т. п.). После изображения аксонометрических проекций составных элементов предмета строятся конструктивные скругления в местах их соединения.
Рис. 4.16
Линии, изображающие проекции предмета, параллельны одноименным аксонометрическим осям, поэтому при построении аксонометрических проекций удобно использовать прямые, параллельные аксонометрическим осям.
Рис.4.17
Как и на комплексном чертеже, полые детали в аксонометрии рекомендуется выполнять с разрезом (рис. 4.17).
Если окружность неполная, то для ее изображения вычерчивают тонкой линией полный овал или эллипс, а затем обводят нужную часть овала
(рис. 4.17).