Вопросы и задания для самопроверки

1. Дайте определение предмету «Начертательная геометрия».

2. Какие символы применяют для обозначения геометрических объектов?

3. Какие символы используют для обозначения геометрических понятий?

4. Перечислите свойства евклидова пространства.

5. В чем состоит реконструкция евклидова пространства?

6. Объясните сущность центрального проецирования.

7. Что такое параллельное проецирование? Приведите примеры косоугольного и ортогонального проецирования.

8. Перечислите инварианты ортогонального проецирования.

3. Точка

В начертательной геометрии любая фигура рассматривается как множество точек, точка – единственное множество.

Точка является элементом более сложных фигур как прямая, плоскость, поверхность. Поэтому изучение построения чертежей начинают с построения точки на плоскостях проекций и ее пространственного изображения в заданной системе координат.

3.1. Система координат. Координатные плоскости проекций

В се геометрические образы будем рассматривать относительно прямоугольной (декартовой) системы координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных осей (рис. 3.1): ось x – ось абсцисс; ось y – ось ординат; ось z – ось аппликат. Начало координат – точка пересечения – обозначается буквой О. Такая система координат образует правую тройку осей: если смотреть навстречу оси Z, то поворот оси X к оси Y, будет против хода часовой стрелки.

Рис. 3.1

Координатная плоскость xOy располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций и ей присваивается индекс «1» – ₁(П₁). Проекции всех геометрических объектов на эту плоскость имеют индекс «1» и называются горизонтальными проекциями.

Две плоскости, перпендикулярные друг другу и горизонтальной плоскости, называются фронтальной и профильной. Первая плоскость – фронтальная xOz – имеет индекс «2» – (₂(П₂)) и обращена к наблюдателю. Вторая плоскость – профильная yOz – имеет индекс «3» – (₃(П₃)) и находится сбоку от наблюдателя. Индексы «2» и «3» присваиваются всем проекциям геометрических объектов и называются соответственно фронтальными и профильными проекциями того или иного объекта.

Преимущества ортогонального проецирования перед центральным и косоугольным параллельным можно назвать: простота графических построений для определения ортогональных проекций точек; при определенных положениях геометрических фигур сохраняется на проекциях форма и размеры проецируемой фигуры. Это позволило широко применять ортогональное проецирование в технике.

3.2. Проекции точки и ее координаты

Представим в пространстве точку А, находящуюся в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей: П₁, П₂ и П₃. Причем плоскость проекций П₁ – горизонтальная (находится под данной точкой), П₂ – фронтальная (располагается за точкой), П₃ – профильная (находится справа), рис. 3.1.

Проведем из точки А проецирующие лучи (перпендикуляры) к плоскостям проекций П₁, П₂ и П₃ до их пересечения с этими плоскостями. Определим ортогональные проекции данной точки. Так, проекцию А₁ точки А на плоскость П₁ называют горизонтальной проекцией, проекцию А₂ на плоскость П₂ – фронтальной проекцией, проекцию на плоскость П₃ – профильной проекцией.

Прямые линии, связывающие точки пространства с их проекциями, называют проецирующими линиями (или проецирующими лучами). Прямая АА₁, проецирующая точку А на плоскость проекций П₁, называется горизонтально проецирующей прямой. Отрезок АА₁ этой прямой без искажения проецируется на фронтальную и профильную плоскости проекций. Проецирующие лучи АА₁ и АА₂, исходящие из точки А, образуют плоскость, которая называется плоскостью проецирующих лучей, или проецирующей плоскостью; она перпендикулярна плоскостям проекций П₁ и П₂. Проецирующая плоскость, образованная проецирующими лучами АА₁ и АА₃, перпендикулярна плоскостям проекций П₁ и П₃. И наконец, проецирующая плоскость, образованная проецирующими лучами АА₂ и АА₃, перпендикулярна плоскостям проекций П₂ и П₃.

Точка А удалена от горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃ на расстояние от оси соответственно ее фронтальной, горизонтальной и профильной проекций. Эти расстояния будут определяться координатами точки. Координата x_A = A_x определяет расстояние от точки А до профильной плоскости проекций ₃, координата y_A = A_y – расстояние от точки А до плоскости проекций П₂, координата z_A = A_z – расстояние от точки А до плоскости проекций П₁. По координатам точек можно судить о положении точек друг относительно друга. Так, чем больше абсцисса точки, тем левее она находится относительно точки с меньшей абсциссой. Чем больше ордината точки, тем ближе она находится относительно точки с меньшей координатой. Наконец, чем выше точка, тем больше будет ее аппликата.