6 В .6.1. Частные случаи определения точки пересечения прямой и плоскости

Прямая, имеющая одну общую точку с плоскостью, пересекает ее в этой точке. На рис. 6.21, а, показано наглядное изображение прямой h, пересекающую плоскость общего положения (ΔАВС) в точке C. На эпюре (рис. 6.21, б) мы видим, что эта прямая имеет одну общую точку с плоскостью (точка С). В данном случае необходимо убедиться, что второй общей точки не существует, иначе прямая будет принадлежать плоскости. Для этого на горизонтали (прямая h) обозначим точку 2, фронтально конкурирующую с точкой принадлежащей стороне треугольника АВ – точка 1 и убедимся, что точка 2 не принадлежит стороне АВ, а значит и самой плоскости заданной в виде треугольника.

Видимость участков прямой (рис. 6.21, а) определим при помощи конкурирующих точек. Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций необходимо определить, какая из конкурирующих точек будет ближе к наблюдателю, а значит, видима. Для этой цели проведем дополнительные построения на комплексном чертеже (рис. 6.21, б), имеющие красный цвет. Точка 1 принадлежит прямой АВ (горизонтальная проекция находится на пересечении продолжения прямой А₁В₁ и линии связи, обозначенной стрелкой). Точка 2 принадлежит горизонтали h. Причем последняя будет дальше (см. горизонтальную проекцию), а значит, на фронтальной проекции она не будет видна. Отсюда участок прямой, находящийся левее точки С, будет видимым. Для определения видимости на горизонтальной проекции дополнительные построения проведены зеленым цветом. Две конкурирующие точки – 3 и 4, причем точка 3 выше (см. фронтальную проекцию), а значит на горизонтальной проекции участок прямой h, которому принадлежит точка 3, будет видимым (рис. 6.21, б).

а

б

Рис. 6.21

Пересечение горизонтально проецирующей плоскости τ с прямой l показано на рис. 6.22. Точка пересечения определяется по горизонтальной проекции, причем на этой проекции как левая, так и правая часть прямой видна. Для определения видимости на фронтальной плоскости проекций покажем направление взгляда (рис. 6.22) и определим, что в том месте где показана стрелка ближе находится проекция прямой, а за ней – проекция плоскости τ, а значит на фронтальной проекции сначала видим прямую l, а за ней плоскость – сплошная линия.

Рис. 6.22

Пересечение проецирующей плоскости с отрезком прямой показано на рис. 6.23.

Р ис. 6.23

Точка пересечения определяется по горизонтальной проекции.

Для определения фронтальной проекции точки пересечения отрезка АВ с плоскостью необходимо воспользоваться свойством 4 (см. подпункт 2.2.3), а именно

А₁К₁/К₁В₁ = А₂К₂/К₂В₂.

Проведем графические построения, соответствующие приведенной пропорции. От фронтальной проекции точки А отложим отрезок А₂В₁,^/ равный отрезку проекции А₁В₁ (под любым углом, отличным от 0 или 180°).На этом же отрезке отложим А₂К₁^/ = А₁К₁. Соединим точку В₂ с точкой В₁^/ и параллельно полученной линии из точки К₁^/ проведем линию. Тем самым мы построим два подобных треугольника ΔА₂К₂К₁^/ и ΔА₂В₂В₁^/. Из подобия треугольников вытекает пропорция А₁К₁/К₁В₁ = А₂К₂/К₂В₂.

Так как точка А является ближайшей, то на фронтальной проекции она будет видна, т. е. участок А₂К₂ будет видимым. Точка А ближе точки К (см. горизонтальную проекцию), а значит, на фронтальной плоскости проекций этот участок будет видимым.

Пример 22

Задание: определить точку пересечения прямой а, с плоскостью τ(с × b) (рис. 6.24, а). Показать видимость проекций.

а б

Рис. 6.24

Решение: точку пересечения определяем по фронтальной проекции – К₂ (рис. 6.24, б). По линии связи определяем горизонтальную проекцию – К₁. На фронтальной проекции прямая а видна как с верху, так и с низу плоскости. Для определения видимости на горизонтальной плоскости проекций нет необходимости использовать конкурирующие точки – достаточно посмотреть на направление взгляда на горизонтальную плоскость проекций (красная стрелка) и мы увидим в каком месте плоскость τ закрывает прямую а.