6.9. Взаимное расположение плоскостей
Плоскости, как и прямые линии, могут совпадать, пересекаться и быть параллельны друг другу, но в отличие от прямых линий не могут скрещиваться, так как плоскость в пространстве бесконечна.
5.9.1. Признак совпадения плоскостей
Две плоскости совпадают, если три точки, не лежащие на одной прямой одной плоскости, принадлежат другой плоскости. На рис. 6.45 плоскости (АВС) и (a ׀׀b) совпадают, так как прямая d принадлежит плоскости (АВС), а точки 1 и 2 – плоскости (a ׀׀b) и прямой d.
Аналогично точка 3 принадлежит плоскости (a II b) и одновременно прямой с, которая принадлежит плоскости (АВС). Таким образом, точки 1, 2 и 3 принадлежат обеим плоскостям (АВС) и (a ׀׀b).
|
Рис. 6.45
Рассмотренный выше признак является не единственный, он вытекает из способа задания плоскостей, количество которых равно пяти, поэтому можно сформулировать такие пять признаков. Однако практически все они сводятся к рассмотренному признаку.
6.9.2. Признак параллельности плоскостей
Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Н
а
рис. 6.46 показаны две параллельные
плоскости (АВС)
и Σ(ab);
a
и b
параллельны СВ
и АВ.
Рис. 6.46
|
Таким образом, две плоскости параллельны, если параллельны соответствующие проекции двух пересекающихся проекций прямых, которые принадлежат этим плоскостям. Можно записать:
b1 ׀׀A1B1 Ù a1 ׀׀B1C1; b2 ׀׀A2B2 Ù a1 ׀׀B2C2; a ´ b Ù AB ´ BC Σ ׀׀.
Однако всегда проверять на признак совпадения плоскостей
6.9.3. Пересечение плоскостей
Как было отмечено выше, пересечение двух плоскостей происходит по прямой линии. Это можно увидеть при пересечении двух проецирующих плоскостей. На рис. 6.47 показано пересечение двух проецирующих плоскостей. На фронтальной проекции видно, что линия пересечения проецируется в точку. Такая проекция возможна только лишь у фронтально проецирующей прямой линии. Показываем ее горизонтальную проекцию.
|
Определение линии пересечения проецирующей плоскости и плоскости общего положения было рассмотрено при решении задачи пересечения прямой линии и плоскости способом проецирующих плоскостей посредников (рис. 6.26, 6.28 линия 1–2). Анализируя рассмотренный вариант пересечения, можно сказать, что линия пересечения плоскостей общего положения будет линией общего положения (рис. 6.48) или прямой уровня. Определение линии пересечения плоскостей общего положения можно выполнить способом замены плоскостей проекций и способом вспомогательных поверхностей. На рис. 6.48 показано определение линии пересечения двух плоскостей (АВС) и (ЕFD) методом геометрических объектов-посредников – проецирующих плоскостей или прямых линий посредников. |
Рис. 6.47 |
Так как линией пересечения является прямая линия, то для решения задачи необходимо найти две точки, принадлежащие линии обеих плоскостей.
Задача сводится к определению точек пересечения линии, принадлежащей одной плоскости, с другой плоскостью. Поэтому для решения подобного рода задач выбирается способ задания в виде треугольников. Если мы имеем другой способ задания плоскости, то тогда встает необходимость построения прямой, принадлежащей плоскости. Причем следует учитывать, то что если в ходе решения задачи для прямой общая точка находится в бесконечности, то это не значит, что плоскости параллельны, так как, исходя из признака параллельности, необходимо доказать, что вторая прямая, пересекающая первую, будет параллельна. В качестве поверхностей-посредников используем фронтально проецирующие плоскости. На эпюр графически обозначены в виде прямых линий с утолщенными концами. Определяем точки пересечения какой-либо стороны одного треугольника с плоскостью другого: точки К – пересечением стороны АС с плоскостью треугольника (ЕFD) и точки L – пересечением стороны СВ с плоскостью треугольника (ЕFD). Точки K и L находим аналогично рассмотренному выше примеру при определении точки пересечения прямой и плоскости. Соединяем прямой линией найденные точки и получаем линию пересечения плоскостей.
Рис. 6.48
Видимость участков плоскостей определяем при помощи конкурирующих точек, принадлежащих различным плоскостям.
Определение видимости по точкам 6(1) и 5(4). По горизонтальной проекции определяем, что точка 6 ближе, чем точка 1. в свою очередь, точка 6 принадлежит стороне АС плоскости (АВС). Значит, на фронтальной проекции часть К2С2L2 будет видимой. По конкурирующим точкам 5(4) определяем, что точка 5 выше, чем точка 4. Последнее означает, что на горизонтальной проекции будет видна точка 5, принадлежащая стороне АВ. На рис. 6.49 задача решена на комплексном чертеже.
Рис. 6.49
При решении задачи мы выбрали вспомогательные проецирующие плоскости таким образом, чтобы стороны треугольников принадлежали этим плоскостям. Следует отметить, что вспомогательные плоскости можно выбирать произвольно, исходя из рациональности решения задачи.