11.2. Основные свойства развертки поверхностей

Если по определению развертка поверхности представляет плоскую фигуру, образованную из поверхности без разрывов и склеивания, то между сегментами развертки устанавливается взаимно однозначное соответствие – каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот.

а
б
в

Рис. 11.1

Расстояние между любыми точками на фигуре равно расстоянию между точками на развертке. Учитывая сказанное выше, можно определить следующие свойства развертки:

1) длины соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой и, как следствие, – замкнутая линия на поверхности ограничивает площадь равную площади, ограниченной соответствующими линиями на развертке;

а
б
в
г

Рис. 11.2

2) угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке;

3) прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке (однако обратное утверждение не имеет смысла);

4) параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке;

5) если линии принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия соединяет кратчайшим путем две точки, также принадлежащие поверхности.

11.3. Развертка поверхности многогранников

При построении развертки многогранных поверхностей необходимо построить фигуру, состоящую из граней этой поверхности, совмещенную с плоскостью.

Существует три способа построения развертки многогранников:

первый – способ нормального сечения;

второй – способ раскатки;

третий – способ треугольников (триангуляции).

Первые два способа применяются для построения развертки призматических поверхностей, последний – для пирамидальных поверхностей.

11.3.1. Способ нормального сечения

Способ применяется тогда, когда большее количество ребер параллельны друг другу и параллельны какой-либо плоскости проекций, тогда они проецируются на эту плоскость без искажения. Таким образом, данный способ наиболее рационально применять для призм. Если ребра призмы занимают произвольное положение, то для построения развертки необходимо преобразовать призму таким образом, чтобы ребра заняли параллельное какой-либо плоскости проекций положение.

В качестве примера рассмотрим построение развертки трехгранной наклонной призмы ABCDEF (рис. 11.3) Ребра CF, AD и BE параллельны фронтальной плоскости проекций.

Для построения развертки пересечем призму фронтально проецирующей плоскостью . Плоскость проводим через точку В, перпендикулярно боковым ребрам призмы. Для определения натуральной величины сечения плоскостью покажем дополнительную плоскость проекций П₄, перпендикулярную плоскости П₂. Полученная проекция сечения будет иметь натуральную величину треугольника.

На произвольной прямой а отложим отрезки [1₀2₀], [2₀B₀] [B₀1₀] конгруэнтные сторонам треугольника 12В. В точках 1₀, 2₀ и 3₀ проведем линии, перпендикулярные прямой а, на которых отложим отрезки, конгруэнтные соответствующим длинам боковых ребер ([1A], [1D], [2C], …..). Полученные точки А₀ С₀ В₀ А₀ и D₀ F₀ E₀ D₀ соединяем прямыми линиями. Полученная плоская фигура А₀С₀В₀А₀D₀F₀E₀D₀ представляет собой развертку боковой поверхности призмы.

Рис. 11.3

Чтобы получить полную развертку, достроим основания призмы А₀С₀В₀А₀ и D₀F₀E₀. На развертке основания призмы можно достраивать на любом из отрезков ломаных линий А₀ С₀ В₀ А₀ и D₀ F₀ E₀ D₀.