9.3. Пересечение тел вращения с плоскостью частного положения

Так как все точки тела вращения описывают при своем движении окружности, то линия пересечения с плоскостью тел вращения будет окружностью. Если плоскость пересекает тело не перпендикулярно, то в зависимости от поверхности и расположения плоскости получаются различные линии. При построении линии пересечения первоначально определяют экстремальные (или опорные) точки (самая левая, правая, нижняя, верхняя, ближняя, дальняя точки,) принадлежащие линии пересечения.

9.3.1. Пересечение цилиндра с плоскостью, не перпендикулярной его оси

На рис. 9.20 показаны различные случаи положения плоскости пересечения относительно оси вращения цилиндра.

а	б	в

Рис. 9.20

В случае, когда плоскость параллельна оси цилиндра, получим либо две параллельные прямые (рис. 9.20, а, 9.20, б), либо одну прямую, совпадающую с образующей (касательная плоскость).

На рис. 9.21 а показан комплексный чертеж линии пересечения цилиндра с плоскостью параллельной оси вращения. В данном случае на фронтальной проекции линии пересечения конкурируют друг с другом, а на профильной плоскости проекций эти линии будут видимыми. Если бы секущая плоскость прошла правее оси цилиндра, то тогда эти линии были бы невидимыми

При пересечении цилиндра с плоскостью, не параллельной и не перпендикулярной оси, получим эллипс, малая ось которого равна диаметру цилиндра, а большая – d/sin – показана на фронтальной проекции, см. рис. 9.20, в, 9.21, б, где эллипс принадлежит проецирующей плоскости, а значит, его большая ось будет проецироваться в виде отрезка прямой линии (рис. 9.20, в, 9.21, б).

Для случая, показанного на рис. 9.21, б, горизонтальная проекция линии пересечения – окружность, фронтальная – отрезок, соответствует натуральной длине большой оси эллипса, а малая ось – диаметр цилиндра. На профильной плоскости проекций линия пересечения с плоскостью выглядит в виде эллипса с одной осью – d, а с другой – dctg, где d – диаметр цилиндра; угол  – угол наклона плоскости к оси цилиндра (рис. 9.21, б), большая ось – диаметр цилиндра.

Часть эллипса, находящаяся правее оси цилиндра будет невидима, так как направление взгляда на профильную плоскость проекций будет слева направо.

а

б

Рис. 9.21

9.3.2. Пересечение конуса плоскостью

Если плоскость перпендикулярна оси вращения, то линия пересечения будет окружность с диаметром

d = 2h tg/2

Рис. 9.22

Пересечение конуса с плоскостью дает несколько вариантов линий пересечения конуса с плоскостью, не перпендикулярной оси вращения:

1 . точка – плоскость проходит через вершину конуса. Результатом пересечения будет точка (рис. 9.23);

Рис. 9.23

2 . прямая – плоскость касается поверхности конуса; одна прямая (рис. 9.24);

Рис. 9.24

3 . плоскость проходит через вершину конуса, а угол наклона плоскости по отношению к оси вращения меньше угла наклона образующей конуса к его оси. В этом случае будем иметь две пересекающиеся прямые (рис. 9.25) ;

Рис. 9.25

4. гипербола – плоскость пересекает верхнюю и нижнюю ветви конической поверхности (рис. 9.26, а). второй случай – когда угол наклона плоскости меньше угла раствора конуса (рис. 9.26, б);

а б

Рис. 9.26

5 . парабола – плоскость не проходит через вершину и параллельна образующей (рис. 9.27);

Рис. 9.27

6 . эллипс – конус пересекает только одну из ветвей конической поверхности (рис. 9.28).

Рис. 9.28

На рис. 9.29 показано построение проекций сечения для случая когда угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси, поэтому в сечении получим замкнутую линию – эллипс (рис. 9.29). Определим проекции его осей. Большая ось эллипса на ₂ проецируется в натуральную величину. Ее проекции определяют высшей точкой – (D₂)и низшей – (С₂). Ее горизонтальную проекцию определяем по линиям связи, профильные проекции – по правилу построения третьей проекции точки по двум известным.

Малая ось эллипса на ₂ проецируется в точку, расположенную на середине отрезка между высшей и низшей точками. Через середину эллипса (точки А₂  В₂ проводим проецирующую плоскость  перпендикулярно оси конусной поверхности. Так как точки вращаются вокруг оси, то их траектории – это окружности (параллели) и линия пересечения плоскости, перпендикулярной оси вращения любого тела, а также окружность, которую показываем на ₁ (тонкая линия с центром, совпадающим с проекцией оси конуса). Проводим линию связи для точек проекций центра симметрии эллипса О₁ – О₂ и О₂ – О₃ и определяем горизонтальную проекцию малой оси (точки А₁ и В₁ – пересечение линий связи, О₁ – О₂ и окружности).

Р ис. 9.29

Секущая плоскость имеет угол наклона, одинаковый с углом наклона образующей к этой оси (рис. 9.30). В сечении получится парабола, вершина которой на поверхности будет наивысшей. Находим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости Σ с основанием конуса. Определяем проекции экстремальных точек: по фронтальной проекции самую верхнюю (1) и нижнюю (2 и 3), самую правую (1) и левые (2 и 3) проекции точки.

Угол наклона секущей плоскости к оси конической поверхности γ меньше угла наклона образующей конической поверхности (рис. 9.31). Плоскость Σ пересечет поверхность конуса по гиперболе, одна (нижняя) ветвь которой показана на чертеже (рис. 9.31),

Р ис. 9.30

Р ис. 9.31

С екущая плоскость параллельна оси конуса (рис. 9.32). Плоскость S пересечет конус по гиперболе, аналогично предыдущему случаю верхняя часть, не показанная на чертеже, будет зеркальным отображением нижней.

Рис. 9.32

С екущая плоскость проходит через вершину конуса – получаем прямые линии (рис. 9.33).

Рис. 9.33

Линия пересечения поверхности вращения с плоскостью общего вида (рис. 9.34) определяется по точкам пересечения параллелей поверхности вращения с плоскостью. Сначала определяют главные (опорные) точки линии пересечения, а затем ряд промежуточных ее точек. На рис. 9.34, а рис. 9.34, б – комплексный чертеж. Главными точками линии пересечения

показано наглядное изображение определения точек пересечения, а на поверхности вращения с плоскостью являются точки пересечения плоскостью главного меридиана, экватора, высшая и низшая точки (рис. 9.34, а).

Для поверхности на рис. 9.34, б низшая точка – 1, высшая точка – 2 (показано построение линии пересечения для ближней половины поверхности, причем следует иметь в виду, что вторая половина – зеркальное отображение первой). Точка 3 принадлежит горлу, 4 – экватору, а точка 6 – промежуточной параллели С. Данная параллель будет находиться на плоскости-посреднике, проведенной перпендикулярно оси вращения. Точка 6 определяет видимость линии пересечения на профильной проекции, так как принадлежит главному меридиану.

а

б

Рис. 9.34