5.3. Линии (отрезки) общего положения

Линии общего положения по отношению к плоскостям проекций располагаются под углом, отличным от 0, 180 или 90 (рис. 5.3, 5.4).

Для такой прямой

z_B – z_A ≠ 0; y_B – y_A ≠ 0; x_B – x_A ≠ 0.

На рис. 4.3,а показано наглядное изображение нисходящей прямой l, а на рис. 4.3, б, в – ее эпюр для которой точка расположенная дальше, по отношению к наблюдателю, будет ниже:

Y_B > Y_A  Z_B > Z_A

а

б в

Рис. 5.3

На рис. 5.4,а показано наглядное изображение восходящей прямой l, а на рис. 5.4, б, в – ее эпюр, для которой точка расположенная дальше, по отношению к наблюдателю, будет выше:

Y_А > Y_B  Z_B > Z_A

а

б в

Рис. 5.4

Таким образом, анализируя комплексные чертежи восходящего и нисходящего отрезка или прямой линии, по расположению проекций можно определить положение прямой относительно наблюдателя. Если обе проекции имеют взаимное положение, близкое к пересекающимся прямым, то отрезок (или прямая линия) нисходящий. В том случае, когда расположение двух проекций близко к расположению параллельных линий, имеем восходящую прямую линию.

На рис. 5.5 приведен комплексный чертеж отрезка АВ, на котором показаны разности координат, являющиеся инвариантами. Следует

обратить внимание на равенство отрезков ∆y на горизонтальной и профильной проекциях, что позволяет строить третью проекцию отрезка по двум известным.

Р ис. 5.5

Пример 6

Задание: построить профильную проекцию отрезка АВ (рис. 5.6, а).

Р ешение: показываем линии связи для профильной и фронтальной проекций точек А и В. На профильной плоскости проекции показываем (произвольно) проекцию наиболее удаленной точки (предварительно опре-

а б

Рис. 5.6

делив положение точек А и В на горизонтальной плоскости проекций). Для

данной задачи точка А будет ближайшей, – ее горизонтальная проекция ниже точки В (рис. 5.6); значит, профильная проекция последней будет самой левой и все точки отрезка будут правее. Теперь все дальнейшие построения будут производиться правее этой точки.

На горизонтальной плоскости проекций определяем разность координат вдоль оси y – y.

Откладываем y от профильной проекции точки В₃ вправо вдоль линии связи и показываем профильную проекцию точки А (А₃).

Соединяя проекции, получаем третью проекцию [АВ].

В заключение отметим следующее свойство проекций и прямой общего положения. Натуральная величина отрезка общего положения всегда больше любой из его проекций.

5.4. Определение натуральной величины и углов наклона к плоскостям проекций (правило прямоугольного треугольника)

Расположим отрезок общего положения таким образом, чтобы точка В находилась на плоскости проекций П (рис. 5.7). Прямоугольный треугольник образован так: один катет – проецирующий луч; второй – проекция отрезка на плоскость П – А_ПВ_П. Гипотенузой будет отрезок АВ. Повернув на угол 90° треугольник А_ПВ_ПА вокруг проекции А_ПВ_П и совместив его с плоскостью проекций, получим изображение прямоугольного треугольника на плоскости проекций П (рис. 5.7). Тогда правило прямоугольного треугольника можно сформулировать следующим образом: натуральная величина отрезка определяется графически как гипотенуза треугольника, у которого один из катетов сама проекция отрезка, а второй – разность расстояний от точек отрезка до плоскости проекций. На рис. 5.7 эта разность будет равна расстоянию от точки А до плоскости проекций П (точка В расположена на плоскости проекций). Угол наклона отрезка к плоскости проекций прилежит к проекции отрезка.

Покажем плоскости проекций и еще раз рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 5.8). Как видно из рис. 5.8, разность расстояний от точек отрезка до плоскости проекций является разностью координат до этой плоскости проекций (в данном случае ΔZ_AB). Тогда

IAB I² = IA₁B₁ I² + I I²

Р ис. 5.7

Рис. 5.8

Следует отметить, что угол наклона к горизонтальной плоскости проекций α не равен для отрезка общего положения углу δ (рис. 5.8).

Значит, для определения натуральной величины необходимо и достаточно двух проекций. Такое определение натуральной величины называется «правилом прямоугольного треугольника», которое формулируется следующим образом: натуральная величина отрезка определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого один катет – проекция отрезка, а другой катет – разность координат до плоскости проекций, на которой строится треугольник, и угол наклона к этой плоскости проекций противолежит разности координат (рис. 5.9).

Рис. 5.9

Чтобы определить величины углов наклона α, β и γ (к плоскостям проекций горизонтальной, фронтальной и профильной соответственно), необходимо построить по указанному выше правилу прямоугольный треугольник на этой плоскости. Естественно, во всех случаях натуральная величина одного и того же отрезка на прямоугольниках, построенных на разных плоскостях, будет одинакова.

Пример 7

З адание: на рис. 5.10 показаны две проекции пространственной кривой. Определить ее длину.

Рис. 5.10

Решение: чтобы определить длину, спрямляем прямую, применяя правило прямоугольного треугольника следующим образом:

1. Спрямляем горизонтальную проекцию, предварительно разбив ее на дуги, мало отличающиеся от стягивающих их хорд (рис. 5.10). Откладываем длины хорд │А₁1₁│, │1₁2₁│, │2₁3₁│, … , │7₁В₁│ на горизонтальной проекции прямой в последовательности, которую они занимали на проекции кривой. Эти длины будут катетами проекций.

2. Второй катет ∆z показываем таким образом: из точек А¹, 1¹, 2¹, … , В¹ прямой а проводим перпендикуляры и отмечаем точки их пересечения с горизонтальными прямыми, проведенными через соответствующие фронтальные проекции точек А₂, 1₂, 2₂, 3₂, … В₂.

3. Полученные точки пересечения А⁰, 1⁰, 2⁰, … , В⁰ укажут вершины ломаной линии. Далее выпрямляем последнюю и получаем отрезок │A_OB_O│, приближенно равный длине пространственной кривой. С увеличением точек разбиения проекций увеличивается точность построения.

Пример 8.

З адание: определить натуральную величину отрезка АВ (рис. 5.11, а) и углы наклона его к плоскостям проекций. Применить правило прямоугольного треугольника.

а б

Рис. 5.11

Решение: проводим линию, перпендикулярную к одной из проекций отрезка АВ. Перпендикуляр опускаем из проекции любой точки (А или В), рис. 4.11, б.

Откладываем на перпендикуляре отрезок равный разности расстояний от точек отрезка до соответствующей плоскости проекций: – x (до П₃), y (до П₂) или z (до П₁) – (разности координат точек вдоль оси перпендикулярной к плоскости проекций, на которой строится прямоугольный треугольник).

Строим прямоугольный треугольник, один катет которого будет проекция отрезка, а второй катет – разность координат. Длина гипотенузы будет равна натуральной величине отрезка (правило прямоугольного треугольника).

Угол, противолежащий катету разности координат, будет углом наклона к соответствующей плоскости проекций:  – угол наклона к горизонтальной плоскости проекций;  – угол наклона к фронтальной плоскости проекций;  – угол наклона к профильной плоскости проекций.

При построении прямоугольного треугольника для определения угла наклона к плоскости П₃ необходимо построить профильную проекцию отрезка (см. пример 6).

Отметим то, что данная задача определяет длину отрезков и углы наклона их к плоскостям проекций. В начертательной геометрии подобного рода задачи называются метрическими.

Задачи, связанные с определением положения геометрических объектов друг относительно друга, будем называть позиционными задачами.

Пример 9

Задание: на прямой m определить точку С, удаленную от точки А на 30 мм (рис.5.12, а).

а б

Рис. 5.12

Решение: для решения задачи отметим на прямой m проекции промежуточной точки В (рис. 5.12, б) и определим натуральную величину АВ, на линии которой отложим 30 мм (натуральную величину АС), по которой определим фронтальную и, по линиям связи, горизонтальную проекции точки С.

Пример 10

Задание: построить нисходящий отрезок длиной 30 мм и определить его угол наклона к фронтальной плоскости проекций.

Решение: для построения отрезка общего положения воспользуемся правилом прямоугольного треугольника. Угол наклона к фронтальной плоскости проекций будет у треугольника, построенного на этой же плоскости проекций. Поэтому построим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 30 мм (рис. 5.13).

Р ис. 5.13

Один катет – фронтальная проекция отрезка АВ, другой – разность координат вдоль оси Y – y_AB. Измеряем ее и откладываем на профильной проекции по линиям связи отмечаем положение проекции точки А, (так как она будет самая левая, а значит на профильной проекции дальняя по отношению к наблюдателю). Точка А выше и дальше точки В – восходящий отрезок.