9.2. Частные виды поверхностей вращения
В технике, в частности в машиностроении, поверхности вращения находят широкое применение. Это объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки поверхностей вращения на станках. Особенно распространены поверхности, имеющие в меридиональном сечении кривую второго порядка или две прямые.
Рассмотрим некоторые частные виды поверхностей вращения.
Конус вращения: образующая – прямая линия пересекает ось вращения в точке S, называемой вершиной (рис. 9.2). уравнение поверхности
Z2 = k2 (x2 + y2)
Коническую поверхность можно получить и другим образом, если принять за образующую поверхности конуса окружность, радиус которой пропорционально изменяется с перемещением ее центра вдоль оси вращения. Это говорит о том, что одну и ту же поверхность можно задавать различными способами.
Н
а
рис. 9.3 показан чертеж конической
поверхности. Обычно, для решения задач
достаточно одной нижней или верхней
части конуса. На рис. 9.3 показаны проекции
нижней части конуса.
Рис. 9.2
Рис. 9 3
Цилиндр вращения: для цилиндра образующей является прямая линия, параллельная оси вращения (рис. 9.4, а). Уравнение поверхности цилиндра
x 2 + y2 = r2
а
б
Рис. 9.4
Так же как и коническую поверхность, цилиндрическую поверхность можно получить и другим образом, если принять за образующую поверхности конуса окружность, радиус которой не изменяется с перемещением ее центра вдоль оси вращения.
На рис. 9.4, б показан комплексный чертеж цилиндрической поверхности. Так как для деталей требуются тела конечной длины, то на чертеже показаны верхнее и нижнее основание конической поверхности.
Возьмем в качестве образующей окружность. В зависимости от взаимного расположения окружности (или ее дуги) и оси вращения можно получить различные поверхности
Тором называется поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси i, не проходящей через ее центр О.
В зависимости от соотношения радиуса R образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения поверхности тора подразделяют так:
открытый тор (или кольцо) – окружность не пересекает ось вращения (рис. 9.5);
(x2 + y2 +z2) + t2 – R2)2 = 4 t2 (x2 + y2),
где t > R,
Рис. 9.5
Комплексный чертеж открытого тора представлен на рис. 9.6.
Рис. 9.6
закрытый тор, при этом – окружность пересекает ось вращения или касается ее (рис. 9.7). уравнение закрытого тора
(x2 + y2 +z2) + t2 – R2)2 = 4 t2 (x2 + y2),
где t < R,
Рис. 9.7
К
омплексный
чертеж открытого тора представлен на
рис. 9.8.
Рис. 9.8
Здесь же можно получить сферу – поверхность, которая может быть получена при вращении окружности g вокруг оси, принадлежащей оси вращения, т. е. сферу можно рассматривать как частный случай тора, у которого t = 0 (рис. 9.9). Уравнение сферы
x2 + y2 +z2 = R2
Рис. 9.9
Комплексный чертеж сферы показан на рис. 9.10.
Рис. 9.10
Гиперболоид вращения: образующая прямая g не пересекает ось вращения (рис. 9.11). Уравнение поверхности
b
(x2
+ y2)
– a2
z2
= a2
b2
Рис. 9.11
Комплексный чертеж однополостного гиперболоида представлен на рис. 9.12
Рис. 9.12
Кроме того, гиперболоид можно получить при вращении гиперболы вокруг оси. Однополостной (рис. 9.12), задаваемый уравнением
г
де
a
и b
— действительные полуоси, а c
— мнимая полуось;
Рис. 9.13
Комплексный чертеж однополостного гиперболоида представлен на рис. 9.14
Двухполостной гиперболоид (рис. 9.15) задается уравнением
где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.
Рис. 9.14
Рис. 9.15
Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.
Комплексный чертеж двухполостного гиперболоида представлен на рис. 9.16.
Рис. 9.16
Чертежи на рис. 9.3 дают представление об ортогональных проекциях тора (рис. 9.5 –9.8), сферы (рис. 9.9). Так как поверхности вращения, изображенные на этих рисунках симметричны относительно оси i, то при i nt их горизонтальные проекции симметричны относительно горизонтальной оси; поэтому можно вычерчивать не всю горизонтальную проекцию, а лишь ее половину, как это будет показано ниже (конечно, если условия задачи не требуют изображать ее полностью).
Эллипсоид вращения вытянутый (рис. 9.17, а), для которого большая ось является осью вращения. Комплексный чертеж эллипсоида представлен на рис. 9.17, б. Уравнение поверхности вытянутого эллипсоида
b2
(x2
+ y2)
+ a2
z2
= a2
b2
а
б
Рис. 9.17
На практике чаще всего используются прямые цилиндры (ось вращения перпендикулярна основанию) и правильные пирамиды (ось вращения перпендикулярна основанию).
Винтовые поверхности (рис.9.18) образуются путем винтового перемещения образующей. Винтовая поверхность имеет уравнение
,
где р – винтовой параметр.
Рис. 9.18
Винтовая линия постоянного шага, образованная на поверхности прямого кругового цилиндра называется гелисой. Поэтому линейчатые винтовые поверхности, у которых направляющей является гелиса называются геликоидами. Геликоиды могут быть как прямыми, если угол наклона направляющей к оси геликоида прямой. В противном случае геликоиды называют косыми.
У косого геликоида образующая, перемещаясь по направляющим, остается параллельной образующим конической поверхности (рис. 9.19. а). Тогда говорят о поверхности параллелилизма, а не о плоскости. Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также в прямоугольных резьбах, предназначенных для передачи значительных осевых усилий.
Наклонные геликоиды (рис. 9.19, б) ограничивают поверхность витков резьбы с прямолинейной боковой стороной профиля.
Выделение этих поверхностей показывает на особое значение их в технике, архитектурно-строительной практике и, особенно, в машиностроении.
а б
Рис. 9.19
На практике чаще всего используются прямые цилиндры (ось вращения перпендикулярна основанию) и правильные пирамиды (ось вращения перпендикулярна основанию).