1.1.5 Смысл коэффициента регрессии

Коэффициент регрессии показывает прирост зависимой переменной, приходящийся на единицу прироста независимой переменной.

-Если знак «+», то м/у Х и У прямая связь;

-Если «-», то связь обратная.

Свободный член регрессии а показывает величину зависимой переменной при условии, что независ. переменная равен 0.

Коэффициент n свободный член регрессии является размерным величинами, их абсолютная величина зависит от единиц измерения зависимой и независимой переменной.

1.2 Проверка адекватности ру

Адекватность регрессионного процесса - соответствие его реальному моделируемому процессу, т.е достоверности параметров.

Адекватность исследуется с нескольких позиций:

1.Анализируется показатели качества подгонки регрессионного уравнения;

2.Проверяются гипотезы относительно параметров регрессионного уравнения;

3.Проверяется выполнение условий для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК);

4.Производится содержательный анализ регрессионного уравнения.

1.2.1 Показатели качества подгонки

Отражают соответствие расчетных значений зависимой переменной y^ ее фактическими значениями. Эти показатели основываются на расчете суммы квадратов разности между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной

Первый из таких показателей - остаточная дисперсия. Для однофакторного уравнения она вычисляется по формуле:

,

n - количество наблюдений

Чем меньше остаточная дисперсия ², тем лучше качество подгонки регрессионного уравнения. Но остаточная дисперсия является величиной размерной, поэтому сопоставления регрессионных уравнений, отражающих переменные, имеющих различные единицы измерения, невозможно.

Показателем, на основе которого возможно сопоставление различных уравнений является коэффициент детерминации R²

где - среднее значение переменной y.

Коэффициент детерминации принимает значения от 0 до 1.Чем ближе R² к 1, тем лучше качество подгонки регрессионного уравнения.

Это обстоятельство связано с тем, что R² приближается к 1при приближение вычитаемой дроби к 0 .Указанная дробь приближается к 0 при приближении числителя к 0, т.е. при небольших отклонениях расчетных значений зависимости.

Показателями связи, выраженным в процентах, является коэффициент эластичности.

При линейной связи X и Y средний коэффициент эластичности по совокупности определяется как

Несмотря на схожесть показателей коэффициента корреляции и коэффициента эластичности, назначение их различно: коэффициент корреляции определяет тесноту связи и является относительным ее показателем, т.е. вычисляется в процентах.

1.3 Предпосылки мнк (ls)

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (у) от расчетных (теоретических) минимальна:

Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной. Решается система нормальных уравнений

При оценке параметров уравнения регрессии применяется МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно составляющей, которая представляет собой ненаблюдаемую величину.

Исследования остатков - предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1.случайный характер остатков;

2.нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_j;

3.гомоскедастичность—дисперсия каждого отклонения, одинакова для всех значений х;

4.отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков, распределены независимо друг от друга;

5.остатки подчиняются нормальному распределению.

1. Проверяется случайный характер остатков, с этой целью строится

график зависимости остатков от теоретических значений результативного признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки, представляют собой случайные величины и МНК оправдан, теоретические значения ух хорошо аппроксимируют фактические значения y. В других случаях необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки, не будут случайными величинами.

2. Вторая предпосылка МНК относительно нулевой средней величины остатков означает, что (у — ух) = 0. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков от теоретических значений результативного признака ух строится график зависимости случайных остатков от факторов, включенных в регрессию х_j . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости и х_j то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные.

3. В соответствии с третьей предпосылкой МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора xj остатки, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

Гомоскедастичность остатков означает, что дисперсия остатков одинакова для каждого значения х.

4.Отсутствие автокорреляции остатков, т. е. значения остатков распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.