5.4Оценка тренда

Существенным понятием тренда является гладкость. На практике его желательно представлять в виде непрерывной и дифференцируемой функции времени.

Оценка тренда возможна на основе двух подходов: 1) оценка с помощью гладких функций f(t) – параметрические методы оценки тренда (методы аналитического выравнивания); 2) оценка тренда на основе различного рода скользящих средних – непараметрические методы оценки тренда (методы механического сглаживания).

5.4.1Параметрические методы оценки тренда

Оценка тренда на основе функций f(t) выполняется как оценка параметров регрессии , то есть зависимость исследуемого показателя m_t от фактора времени. Для наглядности рассмотрим одну из наиболее популярных моделей анализа тренда временного рада - полиномиальную регрессионную модель. Согласно полиномиальной модели тренд случайного процесса представляется в виде полинома некоторой степени р:

- полином степени р.

Задача определения тренда по временному ряду сводится к оценке параметра . Для решения этой задачи используется метод наименьших квадратов, который сводится к следующей схеме:

Для определения минимума находим частные производные по (j=0,…,р) и получаем систему из (р+1) уравнений:

Выбор формы тренда осуществляется в зависимости от конкретных обстоятельств. При выборе f(t) учитывается:

1)результат визуального анализа графика данных (на график какой функции больше всего похож график ряда.

2)анализ теоретических предположений относительно исследуемых данных. Для примера, рассмотрим оборот вновь образованной фирмы. На первых этапах деятельности фирмы оборот резко возрастает, затем наступает относительная стабилизация (постепенный рост). Такой характер тенденции можно описать с помощью логарифмической функции.

3)на основе анализа разностей различных порядков. Например, если разности ( ) для различных наблюдений постоянны, то выбирается линейная зависимость, поскольку разность первого порядка - это прообраз дифференциала первого порядка. А как известно из математического анализа, производная первого порядка для линейной функции постоянна, поэтому мы выбираем линейную функцию в случае постоянства разностей первого порядка. При постоянстве разностей второго порядка ( )выбирается многочлен второго порядка. Объяснение аналогичное первому случаю. Обобщая выше сказанное, отметим что, в случае полиномиального тренда удобным способом его оценки является применение разностного оператора , где , а d – порядок полинома.

5.4.2. Метод скользящих средних

Метод скользящих средних используется в том случае, когда невозможно с определенной степенью точности подобрать гладкую кривую .

Поскольку любая гладкая функция при самых общих допущениях может быть локально представлена полиномом с довольно высокой степенью точности, предпочтительной является следующая процедура. Подбираем полином к первой группе из членов ряда и используем этот полином для определения значения тренда в -ой, средней точке группы. Затем подбираем полином того же порядка к группе, состоящей из второго, третьего,…, наблюдения, и находим значение тренда в , точке и так далее для всех членов ряда до последней группы из членов.

Эта процедура эквивалентна линейной комбинации наблюдений с коэффициентами, которые могут быть оценены раз и навсегда.

Простейшее скользящее среднее можно вычислить по формуле:

(4.1)

где - количество точек, на которых строится скользящее среднее.

Пример 4.2. Приведем пример подбора полинома третьего порядка к группам из семи точек. Запишем искомый полином:

Константы находим методом наименьших квадратов, то есть путем минимизации выражения:

Дифференцируя выражение по a_j, и упрощая, получаем систему:

(4.2)

Как видим, для известных степени полинома и длины группы усреднения коэффициенты при a_j (j=0,1,2,3) не зависят от X_t, система уравнений линейна относительно a_j, левые части – суть линейные комбинации X_t, следовательно, X_m+1 является линейной комбинацией X_t (t=1,…2m+1) наблюдений. Для нашего примера среднее значение получаем для момента t=0:x₀ =a₀.

В системе переносим в левую часть, а суммы с коэффициентами a_j в правую часть, причем учитываем, что суммы нечетных порядков от -3 до 3 равны 0

(4.3)

Нас интересует только a₀, значения ряда в момент t=0. Используя лишь первое и третье из уравнений, получаем:

следовательно, значение тренда в какой-либо точке равно средневзвешенному значению семи точек с данной точкой в качестве центральной и весами

(4.4)

Пример 4.3. Рассмотрим конкретный ряд:

T	1	2	3	4	5	6	7	8
	0	2	4	8	16	32	64	128

Значение тренда в точке 5 вычисляем по формуле (4.4):

и оно совпадает с соответствующим членом ряда.

Вытекают из рассмотренного примера и подтверждаются в общем случае следующие свойства весов:

1) Сумма весов равна единице,

2) Веса симметричны относительно серединного значения.

Таким образом, простые скользящие средние являются частным случаем подбора полинома. Другой подход к нахождению скользящих средних – итеративная обработка простых средних.

Например, на первой итерации строим простые скользящие средние из трех членов, на второй итерации к сглаженным данным применяем простые скользящие средние из пяти членов и т.д. В итоге имеем скользящие средние . По данному принципу строятся формулы Спенсера.

Приведем пример тренда, построенного методом скользящих средних на 12 точках (рис. 1.4.2.1). Данные, по которым строился график, взяты из примера, приведенного в главе 1.3.

Рис. 1.4.2.1 Скользящее среднее ряда на 12 точках.

При построении скользящих средних возникает проблема оценки значений тренда для краевых m точек, называемая краевым эффектом. Эта проблема может быть решена, например, путем расчета значений полинома в точках .

До сих пор рассматривались скользящие средние из нечетного количества членов. Иногда возникает необходимость построения средних из четного количества членов, например, в связи с тем, что год содержит 12 месяцев, 4 квартала, месяц – 4 недели и т.д.

В скользящих средних из четного количества точек усредненное значение приходится на . Например, если усредняются данные с января по декабрь, то простое скользящее среднее приходится на значение тренда в точке 7 (на конец июля), арифметическое среднее значений тренда в середине июля и в середине августа, что эквивалентно вычислению 13 месячного среднего с весами .

В случае простейших скользящих средних усредненное значение членов находится по формуле:

(4.5)

Здесь - количество точек, на которых строится скользящее среднее.