§ 5.2.1. Модель Брауна

Простейшим методом адаптивного прогнозирования, основанным на экспоненциальном сглаживании, является метод Брауна (модель линейного роста Брауна). Прогнозная модель метода выглядит следующим образом:

(2.1)

где — прогноз выполненный на шагов вперёд на t-m шаге адаптации;a_0t и a_1t адаптируемые параметры модели, г- период упреждения (на сколько шагов вперёд выполняется прогноз)

Параметры a_0t и a_1t рассчитываются по формулам:

Где S_t¹ и S_t² экспоненциальные средние соответственно 1-го и 2-го порядков;ß- параметр сглаживания (адаптации). Иногда параметр сглаживания обозначают через α=1-ß.

Экспоненциальная средняя 1-го порядка представляет собой сумму взвешенных значений переменной x_t за весь предшествующий период адаптации и определяется формулой:

S_t⁽¹⁾=(1-ß)*x_t+ ß* S_t-1⁽¹⁾

Где ß- параметр сглаживания, или так называемый весовой коэффициент; х_{t -} фактическое значение обучающего множеств; S_t-1⁽¹⁾ экспоненциальная средняя на предшествующем шаге.

Экспоненциальною среднюю S_t-1⁽¹⁾ можно выразить через предшествующую экспоненциальную среднюю, то есть через S_t-2⁽¹⁾

S_t-1⁽¹⁾=(1-ß)*x_t-1+ ß* S_t-2⁽¹⁾ (2.4)

Аналогично можно выразить через предшествующую экспоненциальную среднюю и подставить в уравнение (2.3) и S_t-2⁽¹⁾, и S_t-3⁽¹⁾, и т. д. Отсюда имеем:

(2.6)

Таким образом, применив эту процедуру экспоненциального сглаживания к исходному ряду, мы получаем сглаженный ряд S_t⁽¹⁾ первого порядка. Повторное применение процедуры экспоненциального сглаживания уже к сглаженному ряду Sj¹' первого порядка, называется процедурой экспоненциального сглаживания второго порядка, то есть:

(2.7) S_t⁽²⁾=(1-ß)* S_t⁽¹⁾+ ß* S_t-1⁽¹⁾

Исходные значения экспоненциальных средних определяются по формулам:

(2.8)

Система (2.8) получена решением системы (2.2) относительно S_t⁽¹⁾ и S_t⁽²⁾+ при t=0.

Начальные условия а₀₀ и a₁₀, необходимые для использования системы (2.8). при отсутствии априорной информации о характере исследуемого процесса, рассчитываются как коэффициенты регрессии вида x_t = а₀₀ +а₁₀ *t. оцененной на всей обучающей последовательности или части её.

Наиболее сложным моментом построения модели является выбор параметра адаптации. Значения параметра адаптации ß=1-α лежат в интервале от 0 до 1. Выбор значения а зависит от того, каким значениям "обучающего множества" необходимо придать больший вес. С одной стороны, для увеличения веса более поздних наблюдений и повышения скорости реакции модели на последние изменения берутся большие значения а. С другой стороны, стремление лучше сгладить случайные отклонения и обеспечить устойчивость модели к кратковременным разовым изменениям процесса диктует необходимость уменьшения значения а, то есть придание большего веса ранним наблюдениям. Таким образом, поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели.

Р. Браун предлагает следующую формулу для расчёта параметра сглаживания: α=2/(m+1) где т — число наблюдений.