5.5.3. Прогнозирование сезонной компоненты

В случае, когда сезонная компонента оценивается с помощью тригонометрических функций, процедура построения прогноза достаточно проста. В формулу для определения сезонной компоненты подставляют прогнозный момент t, и рассчитывают соответствующее значение сезонной составляющей. Например, чтобы узнать значения сезонной компоненты для t=17 в формулу подставляют оцененные коэффициенты , период колебаний T=4 и время t=17. В итоге получают:

.

В случае, когда прогнозирование происходит по методу сезонных индексов, в качестве прогнозных оценок берут скорректированное теоретическое значение.

5.6. Моделирование стационарных случайных процессов

Стационарный случайный процесс обладает следующими характеристиками:

1)

2)

В общем случае случайный процесс есть случайная функция Х(t) от независимой переменной t. Каждое испытание (реализация процесса или выборочная функция) дает определенную функцию Х(t) (рис.5.6.1). Случайный процесс можно рассмотреть как совокупность реализаций процесса X(t), либо как совокупность случайных переменных, зависящих от параметра t. При этом должны быть заданы распределения вероятностей систем случайных переменных для любого конечного множества значений .

Рис.5.6.1. Реализация случайного процесса Х(t)

Многие временные ряды не являются стационарными. Однако ряд значений, получившийся после удаления тренда и сезонный компоненты вполне может быть стационарным.

Моделированием прогнозирования стационарных временных рядов занимались Бокс и Дженкинс.

5.6.1. Авторегрессионные модели

Авторегрессионным называется процесс, при котором значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений.

Если анализируемый процесс зависит от значений, отстоящих от 1 до k временных лагов назад, то имеем авторегресcионный процесс порядка k, т.е. АР(k) и его можно отобразить следующим способом:

(6.1.) или

(6.2),

где на величины накладываются следующие условия:

1)

2)

3) при любом t и k≠0.

Остатки, удовлетворяющие этим условиям, называются белым шумом.

При оценивании регрессионной модели МНК получаются смещенные оценки. Для них применяются другие методы, отличные от МНК.

Авторегрессионный процесс I порядка называется марковским процессом и определяется выражением:

. Это уравнение удобно записать в виде:

(6.3),

Используя в (6.3) ту же самую формулу с t-1 вместо t, получаем:

.

В результате ряд запишется следующим образом: , где -1< ρ<1.

Если близок к 1, то ряд не является стационарным. На графике Марковский процесс представляет собой осцилляции более или менее регулярного типа (рис.5.6.1.1)

Рис. 5.6.1.1. График ряда, представляющего процесс Маркова

Процесс Юла

Процесс Юла – авторегрессионный процесс второго порядка, определяется как:

. Для того чтобы процесс Юла был стационарным, накладываются ограничения на значения . Необходимые и достаточные условия стационарности выглядят следующим образом: и

.

На рис. 5.6.1.2. дан график ряда Юла с и .

Рис. 5.6.1.2. График ряда, представляющего процесс Юла

Aвтокорреляция уровней временного ряда

Если временной ряд является нестационарным, т. е. содержит

тренд и цикличность, то значения каждого последующего уровня

ряда корреляционно зависят от предыдущих значений.

Автокорреляцией уровней временного ряда называется корреляционная зависимость между настоящими и прошлыми

значениями уровней данного ряда.

Величина сдвига между рядами наблюдений — временной лаг (l).

Значение временного лага определяет порядок коэффициента

автокорреляции. Если существует корреляционная зависимость

между уровнями xn и xn−1, то величина временного лага равняется

единице.

Данную зависимость будет характеризовать коэффициент авто

корреляции первого порядка между рядами наблюдений x1, …, xn$1

и x2, …, xn. Если лаг l = 2, то корреляционная зависимость будет

характеризоваться коэффициентом автокорреляции второго по

рядка и т. д. С увеличением величины лага на единицу число пар

значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на единицу. Поэтому рекомендуется брать

максимальный порядок коэффициента автокорреляции равным

n/4, где n — число уровней временного ряда.

Автокорреляция определяется с помощью выборочного коэффициента автокорреляции:

где — среднее арифметическое произведения двух

рядов, взятых с лагом l:

— значение среднего уровня ряда x1+l,x2+l, …, xn:

— значение среднего уровня ряда x1,x2, …, xn−l :

G(xi), G(xi_l) — средние квадратические отклонения,

рассчитанные для рядов x1+l,x2+l, …, xn и x1,x2, …, xn−l,

соответственно.

Определив несколько последовательных коэффициентов автокорреляции для исследуемого ряда, можно выявить лаг l, при

котором автокорреляция rl наиболее высока, рассчитав таким образом структуру временного ряда.

Выделить следующие основные положения анализа структуры

временного ряда на основании автокорреляционных коэффициентов:

1) если наиболее высоким окажется значения коэффициента

автокорреляции первого порядка rl=1, то изучаемый ряд содержит только трендовую компоненту;

2) если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка l, то, кроме трендовой компоненты, исследуемый временной ряд содержит колебания периодом. Это могут

быть как циклические, так и сезонные колебания;

3) если же ни один из коэффициентов автокорреляции rl, где

l =1,L, не окажется значимым, то можно сделать один из двух

возможных выводов:

а) ряд не содержит трендовой и циклической компонент,

а его колебания вызваны воздействием случайной компоненты, т. е. мы имеем дело с моделью случайного тренда;

б) ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести дополнительный

анализ временного ряда.

Наиболее простым и распространенным методом определения структуры временного ряда является построение графиков автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (АКФ и ЧАКФ).

АКФ — это функция оценки коэффициента автокорреляции

в зависимости от величины временного лага между исследуемыми рядами. Графиком АКФ является коррелограмма. ЧАКФ отличается от АКФ тем, что при ее построении устраняется корреляционная зависимость между наблюдениями внутри лагов.

Модели авторегрессии и скользящего среднего являются основными линейными моделями стационарных временных рядов.

Стохастический временной ряд называется стационарным, если его математическое ожидание, дисперсия, автоковариация и автокорреляция остаются неизменными во времени. Исходя из данного определения можно ввести для временного ряда модель авторегрессии порядка p. В этом случае уровень временного ряда представляется в виде:

где p — это порядок авторегрессии;

δι — коэффициенты авторегрессии, подлежащие оцениванию;

νt— белый шум (т. е. случайная величина с нулевым математическим ожиданием).

На практике чаще всего используются модели первого, второго, максимум третьего порядков. Авторегрессионная модель порядка p обозначается как AP(p) или AR(p).

Модель авторегрессии первого порядка AP(1) может быть записана в виде равенства:

Данная модель называется марковским процессом, так как значения переменной y в текущий момент времени i зависят только

от значений переменной y в предыдущий момент времени (t − 1).

Для модели AP(1) действует ограничение |δ| < 1.

Модель авторегрессии второго порядка AP(2) можно записать

как:

Данная модель имеет название процесс юла. На коэффициенты авторегрессионной модели второго порядка накладываются

следующие дополнительные ограничения:

Другой разновидностью линейных моделей стационарных

временных рядов является модель скользящего среднего.

Простой класс моделей временных рядов с конечным числом

параметров можно получить, представив уровень временного ряда в виде алгебраической суммы членов ряда белого шума с числом слагаемых q.

Общая модель скользящего среднего порядка q имеет вид:

где q — это порядок скользящего среднего;

ϕi — неизвестные коэффициенты, подлежащие оцениванию;

νt — белый шум.

Модель скользящего среднего порядка q обозначается как

CC(q) или MA(q). Как и в случае авторегрессионных моделей, наиболее широко применяются модели скользящего среднего первого и второго порядков — CC(1) и CC(2).

Коэффициенты модели скользящего среднего порядка q не

обязательно должны в сумме давать единицу и не обязательно

должны быть положительными.

Для достижения большей гибкости при построении модели

изучаемых временных рядов полезно включать в нее и авторегрессионные члены, и члены скользящего среднего. Такая модель

называется смешанной моделью авторегрессии скользящего

среднего. Она обозначается как APCC(p,q) или ARMA(p,q). Модель APCC(p,q) также является линейной моделью стационарных

временных рядов.

Наибольшее применение получила смешанная модель с одним параметром авторегрессии p = 1 и одним параметром скользящего среднего q = 1. Она записывается как APCC(1, 1):

где δ — параметр авторегрессии;

ϕ — параметр скользящего среднего;

νt — белый шум.

Условие, обеспечивающее стационарность данной модели, —

это ограничение |δ| < 1, а условие, обеспечивающее обратимость, — это ограничение |ϕ| < 1.

Модель APCC(p,q) отвечает свойству обратимости, т. е. описанное выше уравнение процесса скользящего среднего можно

обратить (переписать) в виде уравнения авторегрессии неограниченного порядка, и наоборот.