5.5 Оценка сезонной компоненты.
Сезонные эффекты имеют регулярный характер, которые другие элементы временного ряда не имеют, поэтому термин сезонность будем относить ко всем строго периодическим колебаниям в случайном процессе.
Р
азличают
2 типа моделей, в зависимости от того,
каким образом в них входит сезонный
эффект St
Аддитивная сезонная модель:
Xt= mt + st + et + (vt)
а) Удаление тренда: xt - mt = st + et
б) Оценить сезонную компоненту st
Мультипликативная модель:
Xt= mt * st * et * (vt)
1 способ:
а) логарифмируем ряд
ln xt = ln(mt * st * et) = ln mt + ln st + ln et
Xt ́= mt́ + st ́+ et́
б) удаляем тренд mt́ хt ́+ mt́ = st ́+ et́
в) оцениваем сезонную компоненту st ́
2 способ:
Xt= mt * st * et
Удаляем тренд xt /mt = st * et
Оцениваем сезонную компоненту.
Рассмотрим 2 способа оценки сезонной компоненты
- оценка с помощью тригонометрических функций
- метод сезонных поправок
5.5.1 Оценка сезонной компоненты с помощью тригонометрических функций.
Если рассмотреть график сезонной компоненты, то можно увидеть, что динамика ее является возрастающей и убывающей на определенных участках ,с определенной периодичностью.
Аналитическими функциями, графики которых наилучшим образом отражают такое поведение являются sin и cos.
В общем случае
сезонную компоненту можно оценить с
помощью суммы , тригонометрической
функцией. На самом деле любая интегрируемая
на 
функция может быть разложена в ряд
Фурье.
;
T-период.
Пару
называют гармоникой с периодом T.
На практике сезонную компоненту обычно представляют в виде одной гармонической пары.
Коэффициенты a,b,c
– определяются с помощью метода
наименьших квадратов, но не всегда
результат , полученный с помощью только
одной гармонической пары является
удовлетворительным, поэтому иногда
приходится брать 2, 3,4 …гармонической
пары с периодом 
Подробнее рассмотрим способ оценки St с помощью тригонометрических функций cos, т.е. будем представлять St в виде:
b – амплитуда колебаний;
l – угловая частота колебаний заранее известная величина;
T
– период колебаний ,T=
При известном значении l параметры a и b определяют с помощью МНК, т.е. будем минимизировать сумму квадратов.
Это необходимое условие нахождения экстремума.
В качестве примера
возьмём 
т.к. 
;
;
Пусть T=4,
тогда 
+
5.5.2. Метод сезонных индексов.
Этот метод часто применяется при оценке начальных сезонных индексов (например, в модели Хольта-Уинтерса).
Аддитивная модель с линейным трендом.
= a+bt+St
St
=
–
,
где
- целая часть, т.е. число полных периодов
в данных.
;
Мультипликативная модель с линейным трендом.
=(a+bt)*
= 
f1
Модель мультипликативная с нелинейным трендом.
=
Ft
*ft
,
где Т – период сезонности.
, N 5.