§ 5.2.2. Модель Хольта.

Изучив метод Брауна, справедливо задать вопрос, не слишком ли сильным является ограничение, состоящее в том, что модель содержит единственный параметр сглаживания ß/

К. Хольт первым рассмотрел модель простого обновления и использовал в ней два параметра адаптации.

Прогнозная модель Хольта:

x_t(г) = a_t+b_tг (2,9)

где x_t — прогноз выполненный на г шагов вперед после t шагов адаптации модели;

а_t и b_t — корректируемые параметры модели на каждом t шаге;

г — период упреждения прогноза.

Адаптация параметров модели а_t и b_t происходит по следующим формулам:

где α₁ и α₂ — параметры адаптации

Параметры адаптации в модели Хольта, так же как и в модели Брауна, определяется либо экспериментальным путем, либо исходя из теоретических предположений.

5.2.Адаптивные модели.

Адаптивными методами прогнозирования называются методы, позволяющие строить самокорректирующиеся экономико-математические модели, которые учитывают результат реализации прогноза, сделанного на предыдущем шаге, а так же различают информационную ценность членов временного ряда, благодаря чему способны реагировать на изменяющиеся условия, и на этой основе давать на ближайшую перспективу более точные прогнозы.

Инструментом прогноза в адаптивных методах прогнозирования служат математические модели, первоначальная оценка параметров которых осуществляется обычно по некоторой выборке исходного ряда, называемого обучающей последовательностью.

На этапе оценки начального условия рассчитываются так называемые нулевые значения адаптируемых параметров. Затем начинается «обучение» модели. Любое, даже незначительное отклонение прогнозных оценок от фактических значений из обучающей последовательности, расценивается как ошибка прогнозирования. Эта ошибка через обратную связь поступает на вход модели и учитывается при дальнейшей ее модификации. Далее на основе модифицированной модели строится прогнозная оценка на следующий момент времени. Этот прогноз сравнивается с фактическим значением, находится ошибка прогноза и весь процесс повторяется вновь.

Таким образом, модель постоянно учитывает новую информацию, приспосабливается к ней и к концу «обучения» отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.

Рассмотрим три модели, принадлежащих к классу адаптивных: модель Брауна, модель Хольта и модель Хольта-Уинтерса.

5.2.3. Модель Хольта-Уинтерса

Метод Хольта, применительно к сезонным эффектам был развит П. Уинтерсом. Модель Хольта-Уинтерса (или по другому адаптивная сезонная модель с линейным треном) содержит уже три параметра адаптации а_и а₂ и а₃. Различают мультипликативную и аддитивную модели Хольта-Уинтерса. Рекуррентные формулы обновления для мультипликативной модели выглядят следующим образом:

Где и — адаптируемые параметры линейного тренда на t-м шаге адаптации; а1, а2, а3— параметры адаптации: f_t — адаптируемый параметр сезонных коэффициентов на t-м шаге адаптации;l период сезонности.

Прогнозирование в мультипликативной модели на т шагов вперёд осуществляется по формуле:

где — прогноз выполненный на т шагов вперёд на t-м шаге адаптации.

"Обучение" аддитивной модели Хольта-Уинтерса происходит по формулам:

Прогнозирование в аддитивной модели на г шагов вперёд осуществляется по формуле:

Наиболее сложным моментом при, построении модели является определение начальных условий и параметров адаптации модели . На практике параметры и рассчитываются как коэффициенты линейной регрессии вида . Начальные значения адаптируемых коэффициентов сезонности определяются как средне арифметические значения индексов (для мультипликативной модели) или приростов f_t = x_t - у _t (для аддитивной модели), рассчитанные для каждой одноименной фазы периода (где - расчетные значения линейного тренда определённого для всей обучающей последовательности).

Параметры подбираются экспериментальным путем. Обычно берётся ряд возможных сочетаний значений . Далее для каждого набора значений строится модель и, рассчитывается сумма квадратов ошибок. На основе сравнения этих сумм и выбирают те константы , которым соответствует наименьшая среднеквадратическая ошибка. При этом надо учитывать, что это параметр сглаживания тренда, а - параметр адаптации сезонных коэффициентов.

Пример 2,2. (Числовой пример модели Хольта-Уинтерса). Дан временной ряд, отражающий ежеквартальные объёмы добычи руды на шахте в тыс. тонн. Построим мультипликативную модель Хольта-Уинтерса:

Кварталы t	1	2	3	4	5	6	7	8
Добыча xt	10,4	9,1	12,5	7,9	11,0	9.9	13,3	8,6
Кварталы t	9	10	11	12	13	14	15	16
Добыча xt	11.1	9,3	12.9	8.1	11.8	10.2	12.7	8.8

Визуальный и спектральный анализ показали наличие сезонности с периодом 4 квартала (т. е. l=4), Зададим параметры адаптации: a₁=0,1;а₂=0,2; a₃=0,3.

Построение модели Хольта-Уитерса, как и построение модели Брауна, условно можно разделить на три этапа.

На первом этапе рассчитываются начальные значения адаптируемых параметров а₀₀ и a₁₀, а также начальные значения адаптируемых коэффициентов сезонности

=0,03

Для расчета начальных значений адаптируемых коэффициентов сезонности определяем расчетные значения линейного тренда y_t по формуле y_t = а₀₀ + а₁₀ t = 10,3 + 0,03 *t.

Далее рассчитываем сезонные коэффициенты по формуле:

Значения и приведены в таблице:

Квартал t	1	2	3	4	5	6	7	8
	10,3	10,4	10,4	10,4	10,5	10,5	10,5	10,5
	1,01	0,88	1,20	0,76	1,05	0,94	1,27	0,82
Квартал t	9	10	11	12	13	14	15	16
	10,6	10,6	10,6	10,7	10,7	10,7	10,8	10,8
	1,05	0,88	1,21	0,76	1,10	0,95	1,18	0,82

Начальные значения адаптируемых коэффициентов сезонности оцениваются как среднеарифметические коэффициенты соответствующей фазы:

Прогнозирование на 1 шаг вперёд на нулевом шаге обучения осуществляется по формуле (10,30 + 0,03)*1,05 = 10,85

На втором этапе модифицируем модель по соответствующим формулам из системы

1.На первом шаге адаптации t =1

a₀₁ = 0,1 *10,40/1,05 + (1 - 0,l)(10,30 + 0,03) = 0,99 + 9,30 = 10,29

a₁₁ = 0,2 * (10,29 -10,30) + (l - 0,2)*0,03 = -0,002 + 0,2 = 0,02

f₁ = 0,3 *10,40/10,29+ (1 - 0,3)*1,05 = 1,04

= (10,29+ 0,02)*0,91 = 9,38

2.На втором шаге адаптации t = 2

а₀₂ = 0,1*9,10/0,91 + (1– 0,1)(10,29 + 0,02) = 1 + 9,28 = 10,28

а₁₂ =0,2*(10,28-10,29)+(1-0,2)*0,02 = -0,002+ 0,016 = 0,01

f₂ = 0,3 *9,10/10,28+ (1 - 0,3) * 0,91 =0,90

= (10,28 + 0,02)*1,23 = 12,66

3.На третьем шаге адаптации t = 3

a₀₃= 10,28

a₁₃= 0,01

f₃= 1,23

=0,79

Шаги 4-15 рассчитываются аналогично. На последнем 16-м шаге имеем:

а₀₁₆ = 0,1*8,80/0,25 + (1– 0,1)(25,29 + 0,33) = 3,52 + 23,06 = 26,58

а₁₁₆ =0,2*(26,28-25,29)+(1-0,2)*0,02 = 0,26+ 0,26 = 0,52

f₁₆ = 0,3 *8,80/26,28+ (1 - 0,3) * 0,25 =0,27

На заключительном третьем этапе строим прогноз на основе полученной модели. Прогнозирование осуществляется на основе уравнения (2.12). Прогноз на 1 шаг вперёд на 16-м шаге обучения (τ=1, t=16) будет выглядеть следующим образом:

= (26,58 + 0,52). 0,67 = 18,16

Прогноз на 4 шага вперёд:

= (26,58 + 0,52• 4).0,67 = 19,20

5.3 Общие положения компонентного анализа.

Временной ряд имеет сложную структуру: например, периоды постепенного роста в среднем неожиданно прерываются резкими взлетами, заметны более или менее регулярные колебания в пределах какого-то периода какого-то периода. Поэтому, структуру временного ряда в общем случае можно рассматривать как сумму нескольких компонент;

где m_t - тренд, s_t - сезонная компонента. V_t - циклическая компонента (стационарный случайный процесс), e_t - случайная компонента.

Под трендом понимают долговременную тенденцию развития, имеющую вид непериодической неслучайной, медленно изменяющейся функции времени Примером может служить полином высокой степени.

Тренд можно выделить почти во всех исследуемых данных. Например, курсы валют по отношению к российскому рублю. Очевидно, что в этих данных заметен некоторый постоянный рост, который и считается трендом. Однако, могут встретиться данные, в которых нельзя выделить какую либо постоянную долговременную тенденцию.

Сезонная компонента (эффект сезонности) носит характер периодической неслучайной функции. Примером описания сезонных колебаний могут служить тригонометрические функции.

Эффект сезонности наиболее легок для выделения и изучения. Здесь мы имеем дело с изменениями, накладываемыми на систему неким циклическим механизмом, определяющим поведение этой системы. Например, циклы в производстве молока, обусловлены тем фактом, что Земля совершает оборот вокруг Солнца один раз в год.

Термин «сезонность» относят к эффектам, которые происходят с периодом в один год, но те же идеи могут быть использованы и при изучении любых других явлений, обусловленных строго периодическими процессами. Например, потребление электроэнергии в течение суток

Под циклической компонентой, или стационарным случайным процессом, понимают нестрого периодические колебания. Как известно из теории вероятности, случайным процессом называется некоторая случайная функция X(t) от независимой переменной t. То есть каждому моменту времени t соответствует случайная переменная X(t), для которой можно определить математическое ожидание и дисперсию. Случайныйпроцесс называют стационарным, если для него выполняются следующие условия:

1.M(u_t1) = M(u_t2) = m;

2. (u_t1 , u_t2) = (u_t1+t „, u_t2+t),

где M(t) - математическое ожидание в момент t,

(u_t1 , u_t2)=cov(u_t1 , u_t2 )=

n – количество наблюдений в ряде.

Проиллюстрируем процесс выделения компонент во временном ряде на основе графического примера.

Пример ЗЛ. Рассмотрим ежемесячные показатели продажи мороженого за восемь лет. На графике видно (рис 1,3.1), что в среднем продажа мороженого год от года растет. Эту тенденцию (тренд) можно описать с помощью линейной функции =a*t+b. Но показатель продажи носит также строго периодический характер (в зимние месяцы наблюдается спад, а в летние — подъем), то есть имеется и сезонная компонента. Помимо этого имеются также нестрого периодические циклические колебания, связанные, например, с циклами рынка. Небольшие колебания кривой на графике обусловлены наличием случайной компоненты.

Метод выделения компонент из временного ряда широко используется при прогнозировании. Причем, в отличие от адаптивных моделей, применяемых, в основном, в краткосрочном прогнозировании, компонентный анализ позволяет строить прогнозы и на относительно долгий период. Процедура прогнозирования укладывается в следующую схему:

1. Оценка тренда и удаление его из исходного ряда;

2. Оценка сезонной компоненты и удаление ее из исходного ряда;

3. Моделирование оставшегося стационарного процесса;

4. Конструирование прогнозной модели и выполнение самого прогноза, или нахождение прогноза каждой компоненты в отдельности и получение прогноза временного ряда, как суммы прогнозов его составляющих.