Моделирование стационарных процессов

Моделирование стаци-х случайных процессов возможно на основе моделей :

-авторегрессионного

- скользящего ср.

- авторегрессионного скользящего ср.

Авторегрессионные модели процесс, при котором значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений. Если анализный процесс зависит от 1 до k, то имеет AP процесс порядка:

Где - белый шум. Это выражение можно рассмотреть как регрессию на , ,…, со случайным остатком и коэффициенты , , …, . При упрощенном подходе можно оценить МНК, но такие оценки являются смещ., необходимо использовать другие методы для вычисления … .

Марковский процесс.

Линейный AP процесс 1-го порядка, определяется формулой:

(*) где на накладываются условия .

Если , то ряд нестационарный, а «блуждает» с возрастанием D(x).

(*) можно рассматривать как скользящий средний с длиной отрезка усреднения. , .

Свободное блуждание.

М(x), D(x)=?

, - начальный момент времени.

,

Т.е. D случайно блуждая, меняется со временем пропорционально, следовательно, процесс случайного блуждания не является стационарным в широком смысле (слабая стационарность).

Авторегрессионный процесс 2-го порядка носит название процесса Юла:

для того, чтобы процесс был стационарным накладывается условие на .

5.6.3Модель скользящей средней.

Пусть величина задается линейной функцией от конечного числа членов , ,

С.С. порядка q: q – период запоздания,

- белый шум.

Термин С.С. не следует путать со схожим термином относящимся к оценке тренда. Здесь имеет место только совпадение названия. В данном случае весов .

5.6.4Модель арсс (аrма)

Между моделями АР и СС существует важная зависимость, которая может быть использована при практическом моделировании, а именно АР модель является частным видом модели бесконечной СС.

И наоборот модель С.С. может быть записана как прошлое значение.

Таким образом процесс С.С. превращается в А.Р. процесс, т.е А.Р. процесс в виде конечной С.С.

С.С. предстает как конечная С.С.

представления стационарных процессов не могут быть практически полезными.

На практике полученных экономических представлений иногда бывает необходимо вкл. Модель как члены описывающей А.Р., так и члены, моделирующие С.С. такие модели называются А.Р.С.С.

- АРСС (p,q). АRМА (p,q).

Глобальная проблема при применении такой модели является определение эффективной оценки ее параметров. Имеется два типа параметров:

А.Р. (=Р); С.С. (q)

Надо помнить, что при выборе формы представления стационарного процесса всегда, когда это возможно нужно стремиться к простоте. На практике не требуется значение любого из параметров р и q>2, но даже в этом случае оценка происходит довольно сложно.

Идентификация модели АРСС.

Это процедура определения неизвестных порядков по наблюдаемому временному ряду. Широко известен метод идентификации основанный на изучении поведения оценок АКФ и ЧАКФ. Характерная особенность теоретической АКФ состоит в том, что:

- в случае АР модели она меньше по абсолютной величине.

- в случае смешанной модели АРСС, АКФ ведет себя после значений так, как в случае чистой АР.

Особенности ЧАКФ:

- для модели АР она обрывается и = 0 после первых значений.

- для модели СС она плавно спадает по абсолютной величине.

- для смешанных моделей ее поведение после первых значений такое же, как в случае чистого СС.

На практике большинство стационарных случайных процессов могут быть хорошо описаны 1 из 5 базовых моделей.

1. p=1, q=0 AP(1)

2. p=2, q=0 AP(2)

3. p=0, q=1 CC(1)

4. p=0, q=2 CC(2)

5. p=1, q=1 APCC(1,1)

Поведение выборочных АКФ и ЧАКФ не могут указать на порядок моделей столь же четко и однозначно, как поведение теоретических характеристик, но по АКФ и ЧАКФ может быть получено достаточно информации, чтобы выбрать подходящие порядки АР и СС.

Порядок идентификации модели:

- получение стационарного ряда, тестируем на стационарность, используем визуальный анализ графика АКФ и ЧАКФ.

- после получения стационарного ряда строим его выборочно. АКФ и ЧАКФ обычно рекомендуется использовать модели более низкого порядка, если нет сезонного компонента.

- проверка соответствия данным (адекватность модели), смотрим на статистику, из модели адекватных выбирается самая простая.