5.3. Локальная теорема Лапласа

Пусть теперь число испытаний велико, , и вероятность появления успеха в одном испытании достаточно велика. К данной схеме теорема Пуассона неприменима, а по формуле Бернулли вычисления затруднительны. Тогда справедлива теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления событияв каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событиепоявиться ровнораз в испытаниях, приближенно равна:

, где .

Формула называется асимптотической формулой Лапласа.

Функция – функция Гаусса.

Функция Гаусса табулирована, то есть ее значения помещены в таблицы, соответствующие положительным значениям аргумента (приложение 1). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция Гаусса четная, то есть ;

б) при можно считать, что.

Замечание 1. Асимптотическая формула Лапласа даёт при одном и том же результаты темлучше, чем ближе вероятность к 0,5.

Замечание 2. Критерий, позволяющий однозначно определить закон:

– если , то справедлива теорема Пуассона;

– если , то справедлива локальная теорема Лапласа.

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь .

Применим локальную формулу Муавра–Лапласа.

Имеем: , следовательно,

.

Учитывая, что: (определяем по таблице приложения 1), получим:

.

5.4. Интегральная теорема Лапласа

Найдем вероятность того, что событие наступит виспытанияхне менеераз и не болеераз.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событиенаступит виспытаниях отдораз, приближенно равна определенному интегралу

, где , .

Обозначим интеграл , функция называется функцией Лапласа и имеет следующие свойства.

1. Функция Лапласа – нечётная, .

2. , .

3. при .

Функция Лапласа табулирована (приложение 2), причём в силу свойств 1 и 3 таблицу её значений достаточно иметь на промежутке [0;4].

С использованием функции Лапласа интегральная теорема Лапласа примет вид: , где .

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажутся непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. Производится 400 независимых испытаний, вероятность «успеха» в каждом 0,2. По условию ,,, , .

Тогда , .

Значения инайдены по таблице приложения 2.

6. Случайные величины

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют случайную величину (СВ), возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Число возможных значений ДСВ может быть конечным или бесконечным.

Но распределения случайных величин далеко не исчерпываются дискретными распределениями. Так, например, если точка бросается наудачу на отрезок [0,1], то можно задать случайную величину, равную координате этой точки. Но число значений этой случайной величины бесконечно, так что ее распределение дискретным не является. Да и вероятность этой случайной величине принять каждое из своих возможных значений (попасть в точку) равна нулю. Поэтому:

случайную величину, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку, называют непрерывной случайной величиной.