- •Федеральное агентство по образованию
- •Isbn Севмашвтуз, 2007
- •Введение
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
- •1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Формулы комбинаторики
- •1.4. Урновые схемы
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
- •2. Геометрическая вероятность
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •3.1. Теорема сложения
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения
- •3.4. Независимые события
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности
- •4.2. Формула Байеса
- •5. Схема Бернулли
- •5.1. Формула Бернулли
- •5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •5.3. Локальная теорема Лапласа
- •5.4. Интегральная теорема Лапласа
- •6. Случайные величины
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Распределение Бернулли
- •6.1.2. Биномиальное распределение
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.1.4. Распределение Пуассона
- •6.4.5. Гипергеометрическое распределение
- •6.2. Функция распределения св
- •6.3. Непрерывные случайные величины
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин
- •6.4.1. Математическое ожидание
- •6.4.2. Мода и медиана св
- •7. Моменты случайных величин
- •7.1. Начальные моменты св
- •7.2. Центральные моменты св. Дисперсия
- •7.2.1. Дисперсия
- •Свойства дисперсии.
- •7.3. Асимметрия и эксцесс
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений дсв
- •8. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •8.1. Равномерное распределение
- •8.2. Показательное распределение
- •8.3. Нормальное распределение
- •8.3.1. Свойства нормального распределения
- •8.3.2. Стандартное нормальное распределение
- •8.3.3. Правило трех сигм
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв
- •Указания к выполнению контрольной работы №1
- •Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Список рекомендуемой литературы
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
4.1. Формула полной вероятности
Рассмотрим события , удовлетворяющие условиям:
События попарно независимы.
События образуют полную группу событий, то есть .
В результате опыта обязательно произойдет одно из этих событий.
События , удовлетворяющие перечисленным выше условиям, называютгипотезами.
Теорема. Вероятность появления события , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей этих событий на соответствующие условные вероятности события.
–
формула полной вероятности.
4.2. Формула Байеса
Пусть событие произошло, и мы хотим переоценить вероятность гипотез, которые нам были известны до опыта, то есть найти условную вероятностьпосле того, как событиепроизошло.
Теорема (Формула Байеса). Пусть - полная группа событий и– некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что произошло событие, если в результате эксперимента наблюдалось событие, может быть вычислена по формуле:
–формула Байеса.
Пример. Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-й завод производит 25%, 2-й завод — 35% и 3-й завод — 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти:
а) вероятность купить бракованное изделие;
б) вероятность того, что купленное изделие изготовлено 2-м заводом, если это изделие бракованное.
Решение. Изделие выбирается наудачу из всей произведенной продукции. Рассмотрим три гипотезы: = {изделие изготовлено-м заводом},. . Вероятности этих событий даны:
= 0,25,
= 0,35,
= 0,4.
Пусть событие = {изделие оказалось бракованным}. Даны также условные вероятности:
= 0,05,
= 0,03,
= 0,04.
Тогда:
а) вероятность равна доле бракованных изделий в объеме всей продукции, то есть по формуле полной вероятности
б) вероятность равна доле брака 2-го завода среди всего брака, то есть по формуле Байеса:
Пример. Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,001. Можно сделать два предположения об эксперименте:
= {стреляет 1-й стрелок}
= {стреляет 2-й стрелок}.
Априорные (a’priori —«до опыта») вероятности этих гипотез одинаковы: .
Рассмотрим событие A = {пуля попала в мишень}. Известно, что
=0,5, = 0,001.
Поэтому вероятность пуле попасть в мишень .
Предположим, что событие A произошло. Какова теперь апостериорная (a’posteriori — «после опыта») вероятность каждой из гипотез ? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в 1000 раз). Действительно,
,
.
Пример. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Какова вероятность того, что промахнулся первый охотник?
Решение. Событие одно попадание в цель.
В условиях данной задачи можно сделать следующие предположения (гипотезы):
попали в цель оба охотника, =;
попал в цель первый охотник, а второй промахнулся, ;
попал в цель второй охотник, а первый промахнулся, ;
оба охотника промахнулись, .
Условные вероятности события при условии осуществления каждой из гипотез:
,
,
,
.
Вероятность одного попадания в цель найдем по формуле полной вероятности:
.
Найдем теперь вероятность того, что промахнулся первый охотник, то есть требуется переоценить вероятность 3-ей гипотезы, если известно, что произошло одно попадание:
.