8. Законы распределения непрерывных случайных величин

8.1. Равномерное распределение

Говорят, что случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке, если ее плотность распределения имеет вид:

.

Рис. 5. Кривая равномерного распределения

Функция распределения имеет вид:

.

Рис. 6. График функции равномерного распределения

Например, равномерное распределение присутствует при взвешивании на весах – ошибка взвешивания равномерно распределена в интервале .

Пример. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, не превышающая 0,02 А.

Решение. Ошибку округления можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями.

Плотность равномерного распределения , где– длина интервала, в котором заключены возможные значенияХ, вне этого интервала . В данном случае длина интервала, в котором заключены возможные значенияХ, равна 0,1, поэтому , и

.

Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02; 0,08).

По формуле получим:

.

8.2. Показательное распределение

Говорят, что случайная величина имеет показательное распределение с параметром, если ее плотность распределения имеет вид:

Рис. 7. Кривая показательного распределения

Функция распределения имеет вид:

Рис. 8. График функции показательного распределения

Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «не старения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

В большинстве случаев время безотказной работы элемента, например электрической лампочки, распределено по показательному закону.

Пример. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при плотностью распределения; прифункция. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал.

Решение. Используем формулу .

Учитывая, что по условию ,, получим:

0,961– 0,923=0,038.

8.3. Нормальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии, где,, еслиимеет следующую плотность распределения: .

Параметр есть математическое ожидание нормально распределенной случайной величины,– среднеквадратическое отклонение.

Кривая нормального распределения имеет вид (рис. 9):

Рис. 9. Кривая нормального распределения с параметрами и

Нормальное (иначе называемое гауссовским по имени Карла Гаусса) распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей, поэтому мы очень подробно изучим все свойства этого распределения.

8.3.1. Свойства нормального распределения

Нормальное распределение задается с помощью плотности распределения. Связано это с тем, что нельзя выписать первообразную от функции иначе как в виде интеграла, поэтому функцию распределения этого закона можно записать лишь в таком виде:

.