6.1. Законы распределения дискретных случайных величин

Соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений называют распределением (законом распределения) вероятностей случайной величины.

Или под распределением случайной величины понимается соответствие:

«значение случайной величины ↔ вероятность принимать это значение», либо «множество на прямой ↔ вероятность случайной величине попасть в это множество».

Рядом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в которой перечислены все возможные значения СВ и соответствующие им вероятности:

			…
			…

При этом все и .

6.1.1. Распределение Бернулли

Говорят, что случайная величина имеет распределение Бернулли с параметром, еслипринимает значения 1 и 0 с вероятностямии соответственно. Случайная величина с таким распределением равначислу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха.

Таблица распределения СВ имеет вид

	0	1

6.1.2. Биномиальное распределение

Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрамии, где, еслипринимает значенияс вероятностями. Случайная величинас таким распределением имеет смыслчисла успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха .

Таблица распределения имеет вид

	0	1	…	k	…
			…		…

Пример. По мишени производится три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина – число попаданий в мишень. Найти закон её распределения.

Решение. По условию задачи случайная величина может принимать только целые значения от 0 до 3,.

Тогда: ,,,.

Закон распределения (биномиальное распределение) примет вид:

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

Для проверки: 0,008+0,096+0,384+0,512=1.

График, соединяющий точки с координатами называетсямногоугольником распределения (рис.1.).

Рис.1. Многоугольник распределения

6.1.3. Геометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , где, если принимает значения с вероятностями , где. Случайная величинас таким распределением имеет смыслномера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха .

Таблица распределения СВ имеет вид:

	1	2	3	k	…
					…

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством «нестарения». Пусть величина обозначает, скажем, время безотказной работы (измеряемое целым числом часов) некоторого устройства. Предположим, что для величинывероятность принять любое свое значениеравна. Справедливо следующее утверждение:

пусть . Тогда для произвольных .

Данному равенству можно придать следующее звучание: если известно, что устройство проработало без отказов n часов, то вероятность ему работать еще не менее k часов точно такая же, как вероятность проработать не менее k часов для нового устройства.

Можно прочесть эту формулу и так: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство.