8.3.2. Стандартное нормальное распределение

Нормальное распределение при иназываетсястандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид:

,

а функция распределения

называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. Функция Лапласа является табулированной, то есть ее значения приведены в таблицах (приложение 2). Она принимает значения от 0 до 0,5, то есть .

2. Функция нечетная, .

3. Вероятность попадания СВ на заданный интервал :

.

4. Вероятность отклонения СВ от своего математического ожидания

.

Пусть требуется найти вероятность попадания СВ на заданный интервал, симметричный относительно ее математического ожидания . По предыдущей формуле имеем:

.

Замечание. Иногда в качестве функции Лапласа берут функцию

,

тогда , значения этой функции принадлежат промежутку от 0 до 1: .

Пример. Найти вероятность попадания в интервал значений нормальной случайной величины, для которой математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Применим формулу:

;

в данном случае она примет вид:

.

Функция Лапласа является нечетной, поэтому

.

Значения ,найдены по таблице значений функции Лапласа (приложение 2).

8.3.3. Правило трех сигм

Сформулируем теперь «правило трёх сигм»: практически достоверно, что если случайная величина распределена нормально, абсолютное отклонение ее от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения:

.

Или – вероятность того, что случайная величина отклониться от своего математического ожидания на величину, большую утроенного среднеквадратического отклонения, равна:

.

Смысла в запоминании числа 0,0027 нет никакого, а вот помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах , всегда полезно.

Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв

Распределение НСВ	Математическое ожидание	Дисперсия	Среднеквадратическое отклонение
Равномерное
Показательное
Нормальное

Указания к выполнению контрольной работы №1

Цель контрольной работы – углубление и закрепление студентами знаний, полученных в процессе изучения настоящего курса, подготовка их к успешной сдаче экзамена.

Контрольная работа оформляется на одной стороне стандартного листа бумаги формата А4 с использованием любых средств печати либо рукописно (в этом случае выполнение допускается только крупным и разборчивым почерком). Работа представляется не менее чем за 5 дней до сдачи экзамена.

Вариант работы выбирается согласно общему списку группы, помещенному в журнале:

№ в списке группы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	1	2

Если фамилия значится в списке группы под номером 25, то следует выполнять вариант 1; 26 – вариант 2; 27 – вариант 3 и т.д.

Контрольная работа состоит из десяти задач, связанных с математическими расчетами, построением таблиц и вычерчиванием графиков. Решение задач должно быть представлено подробно (поэтапно) с указанием условия, соответствующих формул и вычислений. Таблицы и графики следует изображать с соблюдением общих правил оформления табличного и графического материала.