6.1.4. Распределение Пуассона

Говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром, где, еслипринимает значенияс вероятностями

Закон распределения имеет вид:

	1	2	…	k	…
			…		…

6.4.5. Гипергеометрическое распределение

Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами и,еслипринимает целые значения от 0 дос вероятностями

.

Случайная величина с таким распределением имеет смыслчисла белых шаров среди шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей белых шаров и не белых.

6.2. Функция распределения св

Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция некоторого аргумента, численное значение которой равно вероятности того, что случайная величинапримет значение, меньшее:

.

Это определение справедливо как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

Свойства функции распределения.

1. есть неубывающая функция своего аргумента, то есть если, то.

2. ,.

3. принимает значения от 0 до 1:.

4. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна разности значений функции:

.

Пример. Возьмем ряд распределения дискретной случайной величины Х из рассмотренного выше примера про попадания в мишень:

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

Найти функцию распределения , построить ее график.

Решение.

1) Если , то. Действительно, значений, меньших, чем 0, случайная величинаХ не принимает. Следовательно, при функция распределения;

2) Если , то;

3) Если , то

;

4) Если , то;

5) Если , то;

Функция распределения ДСВ примет вид:

График функции распределения имеет вид (рис.2):

Рис.2. График функции распределения ДСВ

Замечание 1. Когда текущая переменная проходит через какое-то из своихвозможных значений, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Замечание 2. Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

.

Здесь суммирование ведется по всем , для которых.

В рассмотренном примере функцию распределения можно было бы записать следующим образом:

Функция распределения полностью характеризует случайную величину как дискретную, так и непрерывную. Функцию распределения еще называют интегральным законом распределения.

6.3. Непрерывные случайные величины

Расстояние, которое пролетит пуля после выстрела – величина случайная, однако она не является дискретной, т.к. нельзя полностью перечислить все возможные её значения, а можно лишь указать интервал, которому принадлежат все возможные значения. Поэтому можно назвать случайную величину непрерывной, если возможные её значения принадлежат некоторому промежутку.

Очевидно, что для непрерывной СВ не существует ряда распределения, так как нельзя перечислить все возможные значения случайной величины.

Случайная величина имеет так называемоеабсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция такая, что для любого функцию распределения можно представить в виде:

.

При этом функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .

График плотности распределения называется кривой распределения.

Плотность распределения обладает свойствами:

1. для любого значения ;

2. – полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

3. Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна:

.

4. Связь между функцией распределения и плотностью непрерывной случайной величины:

и

.

Итак, значение плотности распределения в точке равно вероятности «попадания» непрерывной случайной величиныв малый промежуток. Т.е. плотность распределения показывает, насколько плотно (в смысле вероятности) сгруппированы возможные значения непрерывной случайной величины вблизи точки.

Пример. Случайная величина задана функцией распределения

.

Найти плотность распределения , построить графики функцийи.

Решение. Используя свойство 4, находим:

.

Графики функций иизображены на рис. 3 и рис. 4.

Рис. 3. Кривая распределения

Рис. 4. График функции распределения

Пример. Для случайной величины известна плотность распределения:

.

Требуется найти функцию распределения .

Решение. Будем использовать свойство 4 плотности распределения.

Рассмотрим следующие промежутки:

Пусть , тогда;

Пусть , тогда

;

Пусть , тогда.

Окончательно получим:

.