- •Федеральное агентство по образованию
- •Isbn Севмашвтуз, 2007
- •Введение
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
- •1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Формулы комбинаторики
- •1.4. Урновые схемы
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
- •2. Геометрическая вероятность
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •3.1. Теорема сложения
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения
- •3.4. Независимые события
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности
- •4.2. Формула Байеса
- •5. Схема Бернулли
- •5.1. Формула Бернулли
- •5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •5.3. Локальная теорема Лапласа
- •5.4. Интегральная теорема Лапласа
- •6. Случайные величины
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Распределение Бернулли
- •6.1.2. Биномиальное распределение
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.1.4. Распределение Пуассона
- •6.4.5. Гипергеометрическое распределение
- •6.2. Функция распределения св
- •6.3. Непрерывные случайные величины
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин
- •6.4.1. Математическое ожидание
- •6.4.2. Мода и медиана св
- •7. Моменты случайных величин
- •7.1. Начальные моменты св
- •7.2. Центральные моменты св. Дисперсия
- •7.2.1. Дисперсия
- •Свойства дисперсии.
- •7.3. Асимметрия и эксцесс
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений дсв
- •8. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •8.1. Равномерное распределение
- •8.2. Показательное распределение
- •8.3. Нормальное распределение
- •8.3.1. Свойства нормального распределения
- •8.3.2. Стандартное нормальное распределение
- •8.3.3. Правило трех сигм
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв
- •Указания к выполнению контрольной работы №1
- •Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Список рекомендуемой литературы
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6
Вариант 17
Задача №1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
Ответ: 0,0870.
Задача №2. В урне находятся 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными. Задачу решить с возвращением шара в урну и без возвращения.
Ответы: 0,36; 0,3429.
Задача №3. В урне содержатся 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из урны вынимают один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет красным или белым.
Ответ: 0,5.
Задача №4. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Станки первого типа производят 94% деталей отличного качества, второго – 90%, третьего – 85%. Все детали в нерассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго – 3, третьего – 2.
Ответ: 0,91.
Задача №5. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие появится ровно 4 раза, если вероятность появления событияв каждом испытании равна 0,4.
Ответ: 0,0768.
Задача №6. Проводят независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событиепоявится не более 79 раз; ровно 80 раз. Найти наивероятнейшее число появления события.
Ответы: 0,4013; 0,0997; 80.
Задача №7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути' изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 5, не более 5 негодных изделий.
Ответы: 0,0031; 0,9994.
Задача №8. Проверкой установлено, что из каждых 10 деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке. Составить закон распределения числа точно изготовленных среди наудачу взятых 3 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задача №9. Независимые случайные величины изаданы законами распределения
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0,25 |
0,5 |
0,25 |
|
и | ||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
Составить закон распределения . Найти,,,,,.
Ответы: = 2;= 1,5.
Задача №10. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения
.
Найти ,,,,, построить графики функцийи.
Вариант 18
Задача №1. В партии из изделий имеетсябракованных. Из партии выбирается наугадизделий. Определить вероятность того, что среди п изделий будет ровнобракованных.
Задача №2. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым охотником одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведен только: а) один выстрел; б) два; в) три.
Ответы: 0,7; 0,21; 0,063.
Задача №3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность появления нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата в 2 раза больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет нестандартная.
Ответ: 0,08.
Задача №4. Найти вероятность того, что в 6 независимых испытаниях событие появится ровно 5 раз, если в каждом испытании вероятность появления событияравна 0,9.
Ответ: 0,3543.
Задача №5. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0,2.
Ответ: 0,0499.
Задача №6. Вероятность наступления события в каждом отдельном испытании равна 0,9. Произведено 100 испытаний. Найти: а) вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,03; б) наивероятнейшее число появления события и его вероятность; в) вероятность, что событие появится не менее 90 раз.
Ответы: 0,6826; 90; 0,1330; 0,4995.
Задача №7. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных?
Ответ: 0,1563.
Задача №8. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Ответы: 2,1; 0,61.
Задача №9. Независимые случайные величины изаданы законами распределения
X |
-1 |
0 |
1 |
|
р |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
|
и | ||||
У |
-2 |
1 |
2 |
3 |
р |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Составить закон распределения . Найти,,,,,,.
Задача №10. Случайная величина X имеет следующую функцию распределения
.
Найти ,,,,, построить графики функцийи.