- •Федеральное агентство по образованию
- •Isbn Севмашвтуз, 2007
- •Введение
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
- •1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Формулы комбинаторики
- •1.4. Урновые схемы
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
- •2. Геометрическая вероятность
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •3.1. Теорема сложения
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения
- •3.4. Независимые события
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности
- •4.2. Формула Байеса
- •5. Схема Бернулли
- •5.1. Формула Бернулли
- •5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •5.3. Локальная теорема Лапласа
- •5.4. Интегральная теорема Лапласа
- •6. Случайные величины
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Распределение Бернулли
- •6.1.2. Биномиальное распределение
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.1.4. Распределение Пуассона
- •6.4.5. Гипергеометрическое распределение
- •6.2. Функция распределения св
- •6.3. Непрерывные случайные величины
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин
- •6.4.1. Математическое ожидание
- •6.4.2. Мода и медиана св
- •7. Моменты случайных величин
- •7.1. Начальные моменты св
- •7.2. Центральные моменты св. Дисперсия
- •7.2.1. Дисперсия
- •Свойства дисперсии.
- •7.3. Асимметрия и эксцесс
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений дсв
- •8. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •8.1. Равномерное распределение
- •8.2. Показательное распределение
- •8.3. Нормальное распределение
- •8.3.1. Свойства нормального распределения
- •8.3.2. Стандартное нормальное распределение
- •8.3.3. Правило трех сигм
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв
- •Указания к выполнению контрольной работы №1
- •Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Список рекомендуемой литературы
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6
Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
Задача №1. В комплекции из 20 грампластинок имеется 5 пластинок с произведениями Моцарта. Наугад выбирают 4 пластинки. Какова вероятность того, что 2 из них с произведениями Моцарта?
Ответ: 0,2167.
Задача №2. Охотники Александр, Виктор, Павел попадают в летящую утку с вероятностями, соответственно равными 2/3, 3/4 и 1/4. Все одновременно стреляют по пролетающей утке. Какова вероятность, что утка будет подбита?
Ответ: 15/16.
Задача №3. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй – 0,9, третий – 0,8. Вычислить вероятность того, что хотя бы два экзамена будут сданы.
Ответ: 0,954.
Задача №4. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат делает 0,3% брака, второй – 0,2%, третий – 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000 деталей, со второго – 2000 деталей, а с третьего – 2500 деталей.
Ответ: 0,0031.
Задача №5. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадает хотя бы один раз; хотя бы три раза.
Ответы: 31/32; 1/2.
Задача №6. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится в этих испытаниях: а) 90 раз; б) не менее 80 раз и не более 90 раз.
Ответы: 0,0044; 0,4938.
Задача № 7. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу поступит ровно три негодных изделия.
Ответ: 0,0613.
Задача №8. Из винтовки производят 19 выстрелов. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равно 0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.
Ответы: 15; 16.
Задача №9. Найти математическое ожидание , дисперсию, среднее квадратическое отклонение, функцию распределения дискретной случайной величины:
|
1,4 |
1,8 |
2,3 |
3,2 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
Ответы: = 1,92;=0,2796;=0,53.
Задача №10. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения:
Найти функцию плотности распределения , , , .Построить графики функций и .
Вариант 2
Задача №1. На столе лежат 36 экзаменационных билетов с номерами 1, 2, 3,...,36. Преподаватель берет 3 любых билета. Какова вероятность того, что только один билет окажется из четырех первых номеров?
Ответ: 0,2779.
Задача №2. Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления в сборную команду первого, второго и третьего спортсменов соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов попадет в сборную.
Ответ: 0,976.
Задача №3. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий деталей с вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов для этих партий соответственно равны 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
Ответ: 0,225.
Задача №4. На склад поступило 30 ящиков стеклоизделий. Вероятность того, что в данном наудачу взятом ящике изделия окажутся целыми, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все изделия окажутся неповрежденными.
Ответ: 27.
Задача №5. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,8. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано три промаха.
Ответ: 0,0512.
Задача №6. При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад взятых диодов будет 50 бракованных?
Ответ: 0,0166.
Задача №7. Бюффон бросил монету 4040 раз. При этом герб выпал 2048 раз. С какой вероятностью можно было ожидать этот результат?
Ответ: 0,6212.
Задача №8. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет у пяти веретен.
Ответ: 0,1563.
Задача №9. Написать закон распределения вероятностей и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попаданий при одном броске равна 0,4.
Задача №10. Пусть случайная величина X имеет функцию плотности
распределения . Чему равна вероятность того, что данная случайная величина примет значения, лежащие в интервале (0; 1).