- •Федеральное агентство по образованию
- •Isbn Севмашвтуз, 2007
- •Введение
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
- •1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Формулы комбинаторики
- •1.4. Урновые схемы
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
- •2. Геометрическая вероятность
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •3.1. Теорема сложения
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения
- •3.4. Независимые события
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности
- •4.2. Формула Байеса
- •5. Схема Бернулли
- •5.1. Формула Бернулли
- •5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •5.3. Локальная теорема Лапласа
- •5.4. Интегральная теорема Лапласа
- •6. Случайные величины
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Распределение Бернулли
- •6.1.2. Биномиальное распределение
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.1.4. Распределение Пуассона
- •6.4.5. Гипергеометрическое распределение
- •6.2. Функция распределения св
- •6.3. Непрерывные случайные величины
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин
- •6.4.1. Математическое ожидание
- •6.4.2. Мода и медиана св
- •7. Моменты случайных величин
- •7.1. Начальные моменты св
- •7.2. Центральные моменты св. Дисперсия
- •7.2.1. Дисперсия
- •Свойства дисперсии.
- •7.3. Асимметрия и эксцесс
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений дсв
- •8. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •8.1. Равномерное распределение
- •8.2. Показательное распределение
- •8.3. Нормальное распределение
- •8.3.1. Свойства нормального распределения
- •8.3.2. Стандартное нормальное распределение
- •8.3.3. Правило трех сигм
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв
- •Указания к выполнению контрольной работы №1
- •Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Список рекомендуемой литературы
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6
Вариант 21
Задача №1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что цифра 2 появится хотя бы на одной грани?
Ответ: 11/36
Задача №2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,2, второго – 0,5, третьего –0,3. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.
Ответ: 0,03.
Задача №3. Имеются сосуды двух категорий: первой – три сосуда, в каждом из которых по 5 белых и 7 черных шаров; второй – 5 сосудов, в каждом из них по 9 белых шаров и 3 черных. Сосуды первой и второй категории перемешаны. Наудачу извлекается сосуд, а из него шар. Найти вероятность выпадения белого шара.
Ответ: 0,625.
Задача №4. Бросают 10 игральных костей. Определить вероятность того, что на двух из них выпадет 5 очков.
Ответ: 0,2907.
Задача №5. Вероятность замерзания реки Волги около г. Куйбышева в ноябре равна 0,32. Сколько раз можно ожидать, что замерзание произойдет в ноябре за ближайшие 50 лет?
Ответ: 16.
Задача №6. Определить вероятность одновременной остановки 30 машин из 100 работающих, если вероятность остановки одной машины равна 0,2.
Ответ: 0,0044.
Задача №7. Вероятность того, что река Волга у г. Куйбышева вскроется ото льда в третью декаду апреля, равна 0,75. Какова вероятность того, что в ближайшие 20 лет Волга вскроется ото льда в третью декаду апреля не менее пяти и не более десяти раз?
Ответ: 0,0049.
Задача №8. Возможность попадания в самолет при выстреле из винтовки равна 0,001. Определить вероятность того, что при залпе из 5000 винтовок цель будет поражена двумя и более пулями?
Ответ: 0,9596.
Задача №9. Случайная величина задана законом распределения
|
1 |
3 |
4 |
6 |
|
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
Определить функцию распределения и построить ее график.
Задача №10. Случайная величина задана функцией плотности
.
Найти коэффициент,.
Вариант 22
Задача №1. В лотерее 24 билета, из них 7 выигрышных и 17 пустых. Какова вероятность того, что из трех вынутых билетов по крайне мере один окажется выигрышным?
Ответ: 0,6640.
Задача №2. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.
Ответ: 0,512.
Задача №3. На сборку поступают одинаковые изделия из четырех цехов. Вероятности брака в каждом из цехов соответственно равны 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Первый цех поставляет на сборку 30 изделий, второй – 20, третий – 50, четвертый – 25. На сборку поступило бракованное изделие. Какова вероятность того, что изделие поступило на сборку из третьего цеха.
Ответ: 0,3061.
Задача №4. Вероятность выиграть по одному билету денежно-вещевой лотереи равна 0,08. Какова вероятность того, что человек, купивший 5 билетов, выиграет хотя бы по одному?
Ответ: 0,3409.
Задача №5. Сколько нужно произвести независимых испытаний, чтобы наиболее вероятное число появления события оказалась равным 450? Вероятностьпри каждом испытании равна 2/3.
Ответы: 674; 675.
Задача №6. Найти вероятность одновременной остановки 30 машин из 100 работающих, если вероятность остановки для отдельной машины равна 0,2.
Ответ: 0,0044.
Задача №7. Процент всхожести семян кукурузы равен 95. Найти вероятность того, что из 2000 посеянных семян число непроросших будет от 80 до 120.
Ответ: 0,9596.
Задача №8. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность того, что при 1000 выстрелах будет не менее двух попаданий в цель.
Ответ: 0,2642.
Задача №9. Случайные величины изаданы законами распределения:
|
0 |
1 |
3 |
4 | ||
|
0,1 |
0,6 |
0,2 |
0,1 | ||
и | ||||||
|
1 |
2 |
4 |
| ||
|
0,5 |
0,3 |
0,2 |
|
Составить закон распределения случайной величины . На этом примере проверить выполнение свойства дисперсии суммы двух независимых величин.
Задача №10. Определить вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (158; 162), если известно, что она распределена по нормальному закону с параметрами =168;=5,92.
Ответ: 0,1107.