6.4. Числовые характеристики случайных величин

В ряде случаев бывает достаточно знать лишь некоторые свойства случайной величины, не зная полностью ее функции распределения. Такие свойства, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

Рассмотрим характеристики, которые указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Такие характеристики называются характеристиками положения.

6.4.1. Математическое ожидание

«Случайных величин без мат. ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина, мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать».

Из студенческой контрольной работы.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

.

Замечание. Если число возможных значений СВ бесконечно, то математическое ожидание равно сумме ряда, если этот ряд сходится абсолютно:

.

Пример. Распределение ДСВ задано рядом распределения

	1	2	3
	0,3	0,5	0,2

Математическое ожидание .

Математическое ожидание случайной величины есть ЧИСЛО!

Математическое ожидание приближенно равно среднему значению СВ, с тем большей точностью, чем больше число измерений. Поэтому математическое ожидание называют часто просто средним значением случайной величины.

Отметим, что математическое ожидание случайной величины всегда определяется однозначно и уже не является величиной случайной.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , распределенной на промежуткес плотностью распределенияназывается определенный интеграл от произведения плотности СВ на:

.

Если же непрерывная случайная величина распределена на промежутке, то.

Если же , то говорят, что математическое ожиданиене существует.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: .

2. Постоянную можно вынести за знак математического ожидания:.

3. Математическое ожидание суммы двух СВ иравно сумме математических ожиданий этих величин:.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых СВ равно произведению математических ожиданий этих величин:.

Пример. Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины, если известна плотность распределения: .

Решение. По определению получаем:

Пример. Найти математическое ожидание случайной величины , если известны математические ожиданияи:.

Решение. Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим:

.

6.4.2. Мода и медиана св

Числовыми характеристиками, характеризующими положение многоугольника распределения или кривой распределения, являются мода и медиана СВ.

Модой дискретной СВ называется наиболее вероятное значение случайной величины.

Модой непрерывной СВ называется такое значение СВ, при котором плотность ее распределения максимальна.

Многоугольник распределения и кривая распределения могут иметь несколько максимумов или не иметь их вообще. В последнем случае говорят, что моды не существует.

Медианой СВ называется такое ее значение, для которого одинаково вероятно, окажется случайная величина больше или меньше , то есть.

Геометрический смысл. Медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делиться пополам.

Значение функции распределения в медиане

Замечание. Если распределение одномодально и симметрично, то математическое ожидание, мода и медиана совпадают.