- •Федеральное агентство по образованию
- •Isbn Севмашвтуз, 2007
- •Введение
- •Теория вероятностей
- •1. Предмет теории вероятностей. Статистическая устойчивость
- •1.1. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий
- •1.2. Классическое определение вероятности
- •1.3. Формулы комбинаторики
- •1.4. Урновые схемы
- •Урновая схема: выбор без возвращения, с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор без возвращения и без учета порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и с учетом порядка
- •Урновая схема: выбор с возвращением и без учета порядка
- •Заметим, что число выборок, различающихся еще и порядком, в k! раз больше, чем число выборок, различающихся только составом.
- •2. Геометрическая вероятность
- •3. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •3.1. Теорема сложения
- •3.2. Условная вероятность
- •3.3. Теорема умножения
- •3.4. Независимые события
- •3.5. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности
- •4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •4.1. Формула полной вероятности
- •4.2. Формула Байеса
- •5. Схема Бернулли
- •5.1. Формула Бернулли
- •5.2. Теорема Пуассона для схемы Бернулли
- •5.3. Локальная теорема Лапласа
- •5.4. Интегральная теорема Лапласа
- •6. Случайные величины
- •6.1. Законы распределения дискретных случайных величин
- •6.1.1. Распределение Бернулли
- •6.1.2. Биномиальное распределение
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.1.4. Распределение Пуассона
- •6.4.5. Гипергеометрическое распределение
- •6.2. Функция распределения св
- •6.3. Непрерывные случайные величины
- •6.4. Числовые характеристики случайных величин
- •6.4.1. Математическое ожидание
- •6.4.2. Мода и медиана св
- •7. Моменты случайных величин
- •7.1. Начальные моменты св
- •7.2. Центральные моменты св. Дисперсия
- •7.2.1. Дисперсия
- •Свойства дисперсии.
- •7.3. Асимметрия и эксцесс
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений дсв
- •8. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •8.1. Равномерное распределение
- •8.2. Показательное распределение
- •8.3. Нормальное распределение
- •8.3.1. Свойства нормального распределения
- •8.3.2. Стандартное нормальное распределение
- •8.3.3. Правило трех сигм
- •Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений нсв
- •Указания к выполнению контрольной работы №1
- •Варианты заданий для контрольной работы №1 вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Список рекомендуемой литературы
- •164500, Г. Северодвинск, ул. Воронина, д.6
Вариант 13
Задача №1. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей. Решить задачу с возвращением карты в колоду и без возвращения.
Ответы: 0,0938; 0,1055.
Задача №2. В студии телевидения имеются три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена: а) хотя бы одна камера; б) только одна камера.
Ответы: 0,936; 0,288.
Задача №3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, второй – 30%, третий – 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали и вероятность того, что оказавшаяся нестандартная деталь изготовлена первым автоматом.
Ответы: 0,0022; 0,1136.
Задача №4. В партии изделий 5% бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 изделий: а) не окажется ни одного бракованного; б) будет два бракованных?
Ответы: 0,7738; 0,0214.
Задача №5. Оптовая база снабжает 90 магазинов. Вероятность заявки на данный день от каждого магазина равна 0,4. Найти наивероятнейшее число заявок на данный день.
Ответ: 36.
Задача №6. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет: а) не менее 81; б) не более 70; в) ровно 75 раз?
Ответы: 0,0829; 0,1240; 0,0921.
Задача №7. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет не более чем на двух веретенах.
Ответ: 0,2381.
Задача №8. Написать закон распределения вероятностей и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти ,,, построить график функции.
Задача №9. Случайная величина задана функцией распределения,
Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (0; 1).
Задача №10. Случайная величина имеет функцию плотности распределения
Найти ,,,.
Вариант 14
Задача №1. В партии из изделийбракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверкиизделий ровноокажутся бракованными.
Задача №2. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить: а) вероятность попадания в мишень хотя бы один раз; б) вероятность попадания в мишень один раз и двух промахов.
Ответы: 0,94; 0,29.
Задача №3. На фабрике машины А, Б, С производят соответственно 25, 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие, выпущенное на фабрике, будет бракованным?
Ответ: 0,0345.
Задача №4. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,8. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано три промаха.
Ответ: 0,0512.
Задача №5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что: а) цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии из 600 выстрелов; б) будет поражена ровно 240 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.
Ответы: 0,7962; 0,0332; 240.
Задача №6. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В данном интервале времени любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что в данном интервале было сделано не более 7 вызовов.
Ответ: 0,8666.
Задача №7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях?
Ответ: 0,00967.
Задача №8. Имеются мишени 3 типов. Произвели по одному выстрелу в каждую мишень с вероятностью попадания: для первого типа 0,6, для второго типа 0,5, для третьего – 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти функцию распределения этой случайной величины.
Задача №9. Независимые случайные величины изаданы законами распределения
|
1 |
2 |
3 |
|
0,1 |
0,3 |
0,6 |
и | |||
|
-2 |
-1 |
0 |
|
0,6 |
0,3 |
0,1 |
Составить закон распределения суммы . Найти,,,,,.
Ответы: = 1,= 0,9.
Задача №10. Случайная величина имеет следующую функцию плотности
Определить значение . Найти функцию распределения,.