Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Закон Био—Савара в системе СИ имеет вид

Ал ■г Ал г

Здесь /4) =4я--10-7 Г/м» 1,256-КГ6 Г/м.

Электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда в системе СИ записывается следующим образом:

где учтено соотношение s^/i^ =\/с2 .

Нерелятивистские формулы преобразования полей при переходе от одной системы отсчёта к другой в СИ имеют вид

Е ' - Е I vxB,

В' =В - SqjUqv х Е =В - -т-v х Е.

с

Теорема Гаусса и теорема о циркуляции для магнитного поля в ва­ кууме в СИ имеют вид

Если связь напряжённости поля и намагниченности линейная, то

I =/cH, В =//0//Н, ju =l +tc.

Единицей напряжённости магнитного поля в системах СГСМ и га­ уссовой является эрст ед (Э), определяемый следующим образом:

,1 Э равен напряжённости магнитного поля, индукция которого в вакууме равна 1 Гс.

В СИ единицей напряжённости являетется ампер на метр (А/м). Её связь с эрстедом следующая:

1 А/м =Ал ■1(Г3 Э * 1,257 ■1(Г2 Э.

Магнитодвижущая сила в системе СИ даётся формулой

411

Р = ф Ш 1=Ж7.

г

Теорема о циркуляции для магнитного поля в среде в СИ записы­ вается следующим образом:

rotH =j, фвкй =./

L

( J и j — соответственно ток и плотность тока проводимости).

Единица магнитодвижущей силы (МДС) в системе СИ — ампервиток (или просто ампер, А), а в гауссовой системе — гильберт (Гб). Соотношение между этими единицами:

1Гб = 10/4я-А. "

ВСИ закон Ома для магнитной цепи (раздел 4.3.2) записывается

ввиде

Всистеме СИ индуктивность вводится соотношением Ф =LJ, а

выражение ЭДС индукции имеет вид £ =~(1Ф/d t.

Всистеме СГСМ единицей магнитного потока является максвелл (Мкс1), а индуктивности — сантиметр (см).

Единицами магнитного потока и индуктивности в СИ являются ве-

бер (Вб) и генри (Г), причём

i . 1Вб =108 Мкс, 11= Ю9 см .

По определению 1 Мкс =1 см:1 ед. тока СГСМ, 1 Вб =1Г • 1 А.

Соотношение £ =-<iO/dt означает, что изменение магнитного по­ тока со скоростью 1 Вб/с приводит к появлению ЭДС индукции в 1 В.

Формула для индуктивности соленоида в СИ имеет вид

/

В СИ плотность тока смещения даётся формулой

Jcm ' ® '

Приведём уравнения Максвелла (в дифференциальной форме) в

СИ:

1 Обозначение Мкс для максвелла начинается со строчной буквы, чтобы отли­ чать от обозначения мкс для микросекунды.

412

dt

div В - 0, rotH = j +— . dt

Заметим, что хотя в СИ эти уравнения имеют простейший вид — не содержат никаких нетривиальных коэффициентов, однако связь между векторами Е и D, а также В и Н оказывается заметно сложнее.

Вектор Пойнтинга S и плотность импульса g электромагнитного поля в СИ записываются следующим образом:

S=ЕхН, g = —S =—ЕхН.

Сс

413

Приложение 3. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

В векторном анализе рассматриваются различные операции с функциями, зависящими от пространственных координат г =(х, у , z).

Кроме того, эти функции могут зависел, от некоторых параметров (на­ пример, времени). Если функция скалярная, то говорят, что задано ска­ лярное поле', f = /(г). Если же функция векторная, то говорят, что за­

дано вект орное поле-, и =и(г).

Используя прямоугольные координаты, будем обозначать единич­ ные векторы (орты) вдоль координатных осей х, у , z соответственно

как i, j, k.

П.3.1. Дифференциальные операции первого порядка

Векторный операт ор «набла» вводится формальным равенством

То же равенство при использовании оператора набла записывается в виде

A= V<p.

Дивергенция — это дифференциальная операция, применяемая к векторным функциям (полям) и даваемая в прямоугольных координатах формулой

divA4 - * =—д А ^+Х —М ^У -+—8 A Z

дх ду dz

Дивергенция может быть также определена следующим образом. Выберем в пространстве некоторый объём V, ограниченный поверхно­ стью S(F). Разобьём поверхность на элементарные площадки dS, на­ правленные наружу от поверхности S. Элементарный поток вектора через площадку dS равен d<&= AdS. Поток вект орного поля А через всю поверхность S получается суммированием элементарных потоков сй> и равен

414

Ф= cj) AdS.

s(r)

В прямоугольных координатах поток даётся интегралом Ф = <j) AJS = (j) (Axdydz +Aydxdz +A^dxdy).

S ( V ) SQT)

Дивергенцией векторного поля А называется предел

V

когда объём стягивается в точку (инвариантное определение диверген­ ции, не связанное с конкретной системой координат).

Дивергенция может быть записана с использованием оператора набла как скалярное произведение наблы и вектора, в котором порядок сомножителей строго фиксирован:

divA = V-A.

Теорема О ст роградского—Г аусса связывает объёмный интеграл с поверхностным:

[ divAdV = ф AdS.

V S ( V )

Ротор (вихрь) векторного поля А —- это вектор, записываемый в

Ротор может быть определён следующим образом. Выберем в про­ странстве некоторую малую поверхность S, границей которой является контур Г (рис. П1.1). Её вектор площади равен S =£п, где п —• единич­ ный вектор нормали к рассматриваемой площадке. Циркуляция вектор­ ного поля А по контуру Г есть контурный интеграл

фA ir.

Г(5 )

Впрямоугольных координатах циркуляцию можно записать в виде

415

Потенциальным векторным полем F называется такое поле, кото­ рое может быть всю д у представлено как градиент некоторого скалярно­ го поля:

F -grad 9?.

Признаком потенциальности поля F является равенство rot F 0.

С оленоидалъное (или вихревое) вект орное поле А — это поле, ко­ торое может быть всю ду представлено как ротор некоторого векторного поля:

В = rot А:

Признаком соленоидальности поля В является равенство

■div В -. 0.

П.3.3. Некоторые то ж д ества

Приведём некоторые часто встречающиеся тождества.

Если поле F потенциальное, F =gradi//, ар — постоянный вектор,

то

grad(pF) = (pV)F.

Для двух произвольных векторных полей Е и Н выполняется тож­ дество '

div(ExH) =-ErotH +HrotE.

В следующих примерах г — радиус-вектор, а векторы а и р счита­ ются постоянными. Тогда

д х д у д г

divr =— +— +— =3.

дх ду dz

Радиус-вектор является потенциальным вектором: rotr = 0.

Следовательно, он может быть представлен как градиент скалярной функции. Легко проверить, что

г = gradf^-r2l , r = ^Jx2 • "2 1 - 2

2

Имеют место следующие тождества:

г1 г gradr =—, grad—=—

гГ г

(aV)r • • а, rot(axr) =2a,

417

Следующие два тождества показывают, что в некоторых областях пространства вихревое и соленоидальное поля могут имееть одинаковое представление:

m xr 3(m r)r-m r2

(векторы т и р считаются постоянными). Эквивалентность двух пред­ ставлений правой части — как в виде вихревого, так и в виде потенци­ ального векторного поля — имеет место всюду, за исключением начала координат, где находится источник поля, определяющий его фактиче­ ский тип.

418

Приложение 4. ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ

Скорость света

с = 2,998 -Ю10 см/с

Элсктроннольг , 1эВ =1,602 ■10“ 12 эрг =1,602 -10-19 Дж

Масса электрона

т., 9,1085-10 28

Энергия покоя электрона

т с 2 =0,511 МэВ

Масса протона

тр =1,6726 -10-24 г

Энергия покоя протона

трс 2 =938,3 МэВ

Заряд электрона (численно)

|е| = 4,803-Ю"10 ед. СГСЭ =1,602-10-19Кл

Магнетон Бора v

Na = 6,022 ■1023 молекул

Число Лошмидта

йд = 2,687 • 1019 молекул/см3

Универсальная газовая постоянная

R =8,3145 Дж - моль-1 - К-1

Постоянная Больцмана

к = 1,3807-10-23 Дж-К-1 =1,3807-КГ16эрг/К

419